Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Известно, что через две не совпадающие точки можно провести прямую и притом только одну. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки P(x1, y1) и Q(x2 , y2 ) . Используя каноническое уравнение (5.16) и выбирая в

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение. Подставляя в (5.18) х1=у1=0; x2=-2; y2=-3, имеем:

Уравнения прямой в отрезках

Выведем теперь уравнение прямой, положение которой на плоскости задано ненулевыми отрезками, отсекаемыми ею на осях координат. Предположим, например, что прямая АВ отсекает на оси Ox отрезок OA = a , а на оси Oy –отрезок OB = b (рис.5), причем ясно, что тем самым положение

прямой вполне определено.

49

Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример 6. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.

Решение. Уравнение прямой имеет вид: ax + by =1. По условию a=b>0 и ab/2=8. Значит, a=4.

Таким образом, искомое уравнение прямой: 4x + 4y =1 или х+у–4=0.

Где A, B,C –постоянные, причем A и B не равны нулю одновременно. Утверждение 1. Любая прямая на плоскости может быть задана в

фиксированной декартовой прямоугольной системе координат уравнением первой степени (5.20). Обратно, любое уравнение первой степени относительно декартовых координат является уравнением прямой.

окружность, а не прямую.

Замечание 2. Прямая может быть задана в декартовых прямоугольных координатах и нелинейным уравнением, например, y(x2 +1) = 0 – уравнение оси

Ox .

Уравнение (5.20) называется общим уравнением прямой. Отметим некоторые частные случаи этого уравнения, а именно, к чему приводит равенство нулю некоторых его коэффициентов.

1.C = 0 , т.е. уравнение (5.20) имеет вид:

Прямая проходит через начало координат, т.к. уравнению (5.21) удовлетворяют значения x = 0 и y = 0 . Обратно, пусть прямая (5.20)

проходит через начало координат. Тогда вставляя в уравнение (5.20) значения x = 0 и y = 0 , получим C = 0 . Итак, для того чтобы прямая (5.20)

проходила через начало координат, необходимо и достаточно, чтобы свободный член C уравнения (5.20) был равен нулю.

2.B = 0, C ≠ 0 , т.е. уравнение (5.20) имеет вид

любая такая прямая задается уравнением вида (5.22) 3. B = 0, C = 0 , т.е. уравнение (5.20) имеет вид

50

x = 0 и задается ось Oy

Аналогично истолковываются случаи

4.A = 0, C ≠ 0

5.A = 0, C = 0

Геометрический смысл коэффициентов А и В: в декартовой прямоугольной системе координат вектор n с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах+Ву+С=0.

Пример 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору nG(3, -1).

Решение. Составим при А=3 и В=-1 уравнение прямой: 3х–у+С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.Получаем: 3–2+C=0, следовательно С=-1.

Искомое уравнение: 3х–у–1=0.

Пример 8. Дано общее уравнение прямой 12х–5у–65=0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

Решение. 1265 х− 655 у =1

уравнение этой прямой в отрезках: (65/12)х + (−13)y =1 уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5) y = 125 x − 655 = 125 x −13.

Совместное исследование уравнений двух прямых

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y :

Каждое уравнение системы (5.23) определяет некоторую прямую. Вопрос о существовании и количестве вещественных решений системы (5.23) равносилен вопросу о существовании и количестве общих точек у прямых (5.23). Возможны три случая:

1.Прямые (5.23) пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку– система (5.23) имеет единственное решение.

2.Прямые (5.23) совпадают, т.е. оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую–система (5.23) имеет бесконечное множество решений.

3.Прямые (5.23) параллельны–система (5.23) не имеет решений. Утверждение 2. Необходимыми и достаточными условиями того, чтобы

имел место один из трех указанных случаев, являются соответственно следующие условия:

1. не существует такого вещественного числа l , что

A1 = lA2 , B1 = lB2 или A1 ≠ B1

A2 B2

51

Деление отрезка в данном отношении

Если заданы две точки на плоскости P(x1, y1) и Q(x2 , y2 ) и точка M(x,y) ,

делящая отрезок PQ в соотношении λ/µ, считая от P , то координаты этой

Пример 9. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Это и есть уравнение искомого геометрического места точек. Упростим его, возведя обе части последнего равенства в квадрат:

(x − x1 )2 + y2 = (x − x2 )2 + y2

Сокращая на x2 − x1 ≠ 0 , имеем

52

данные точки B и C , и проходящая через его середину.

Замечание. При решении задачи нам пришлось упростить уравнение (А), возведя обе его части в квадрат, в результате получили уравнение (В). Из алгебры известно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к уравнению, которое не равносильно (не эквивалентно) исходному. Это значит, что уравнение, полученное при возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения, может иметь решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, т.е. иметь так называемые «посторонние» корни. Поэтому всегда в тех случаях, когда обе части уравнения приходится возводить в квадрат, следует ставить вопрос об эквивалентности полученного и исходного уравнений.

В интересующем нас случае вопрос ставится так: не содержит ли линия (В) точек, которых нет на линии (А), т.е. таких, координаты которых не удовлетворяют уравнению (А) и таким образом не удовлетворяют исходному

уравнению (В).

Поскольку из уравнения (А) получается уравнение (В) и обратно–из уравнения (В) следует уравнение (А), то эти уравнения равносильны (эквивалентны). Таким образом, поставленный нами вопрос решен: линия (В) не содержит таких точек, которых нет на линии (А).

53