Теоретические вопросы к экзамену

1.Понятие матрицы, виды матриц, примеры.

2.Умножение матрицы на число, сложение матриц. Свойства операций сложения и умножения. Примеры.

3.Умножение матриц. Транспонирование матриц. Их свойства. Примеры.

4.Определитель матриц 1-го, 2-го и 3-го порядков. Их вычисление. Примеры.

5.Определитель квадратной матрица n-го порядка. Примеры.

6.Свойства определителей.

7.Обратная матрица. Теорема существования обратной матрицы* . Ее вычисление.

8.Минор к-го порядка матрицы. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы и его свойства. Теорема о базисном миноре. Вычисление ранга.

9.Система m-линейных уравнений с n неизвестными. Матричная запись системы. Метод обратной матрицы.

10.Система m-линейных уравнений с n неизвестными. Матричная запись

системы. Метод Крамера* .

11.Метод Гаусса (прямой и обратный ход). Эквивалентные преобразования систем.

12.Исследование на совместность СЛАУ методом Гаусса.

13.Система m-линейных уравнений с n неизвестными. Теорема КронекераКапелли о совместности исследуемой системы.

14.Понятие векторного (линейного) пространства. Аксиомы n-мерного векторного пространства.

15.Линейная зависимость (независимость) n-векторов.

16.Разложение n-вектора по базису. Теорема о единственности координат

вектора в заданном базисе* .

17.Скалярное произведение n-векторов. Длина n-вектора, угол между векторами, ортогональность n-векторов. Примеры.

18.Векторы на плоскости и в пространстве. Понятие равных, ортогональных, коллинеарных, компланарных векторов. Линейные операции над векторами, их свойства.

19.Базис на плоскости и в пространстве. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

20.Координаты точки и радиус-вектора в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Длина вектора. Деление отрезка в данном соотношении. Скалярное произведение векторов; его свойства. Угол между векторами. Критерий перпендикулярности векторов.

21.Векторное произведение векторов. Его свойства и геометрический смысл. 22.Смешанное произведение векторов. Его свойства и геометрический смысл. 23.Предмет аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.

Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве.

24.Прямая в R2 . Уравнение прямой с угловым коэффициентом* .

162

перпендикулярности двух прямых* .

26.Прямая в R2 . Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей

через заданную точку плоскости* . Каноническое и параметрическое уравнение прямой.

27.Прямая в R2 . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой в отрезках* . Общее уравнение прямой и его частные случаи.

28.Расположение двух прямых на плоскости. Формула расстояния от точки до

квадратов.

30.Эллипс и его каноническое уравнение* .

31.Исследование формы эллипса, его характеристики, геометрические свойства.

32.Критерий принадлежности точки эллипсу* .

33.Окружность как частный случай эллипса, ее характеристики, геометрические свойства.

34.Гипербола и ее каноническое уравнение* .

35.Исследование формы гиперболы, ее характеристики, геометрические свойства.

36.Критерий принадлежности точки гиперболе* .

37.Парабола и ее каноническое уравнение* .

38.Исследование формы параболы, ее характеристики, геометрические свойства.

39.Канонические уравнения кривых второго порядка с осями симметрии x = x0 ≠ 0, y = y0 ≠ 0 . Построение их графиков.

40.Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку M0 и общее

уравнение плоскости* .

41.Построение плоскости в пространстве, заданной общим уравнением. Частные случаи общего уравнения плоскости с графической иллюстрацией.

42.Уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через

три заданных точки* .

43.Угол между плоскостями. Параллельность и перпендикулярность плоскостей.

44.Уравнение линии в пространстве. Общие уравнения прямой в векторной и

координатной формах* .

45.Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Канонические и параметрическое уравнение прямой в пространстве* .

163

46.Направляющие косинусы прямой в пространстве, их геометрический смысл. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки. Переход от общего уравнения к каноническому уравнению прямой.

47.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

48.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.

49.Понятие гиперплоскости и полупространств в \n , \3 , \2 .

50.Алгоритм нахождения графического решения системы m линейных неравенств с двумя переменными.

51.Матрицы линейных преобразований

52.Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

53.Множества и операции над ними

54.Понятие отображения (функции)

55.Способы задания функций: аналитический, графический, табличный 56.Виды функций (явная, составная, неявная, многозначная, параметрическое

задание функции, композиция функций, монотонные функции, обратная функция)

57.Числовая последовательность (ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные последовательности)

58.Предел последовательности

59.Число е и его экономическая интерпретация* 60.Предел функции в точке (по Гейне и Коши) 61.Односторонние пределы функции

62.Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности

63.Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций 64.Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 65.Основные теоремы о пределах* 66.Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно

малых.

67.Первый замечательный предел и его следствия*

68.Второй замечательный предел и его следствия

69.Непрерывность функции в точке.

70.Непрерывность некоторых элементарных функций*. Свойства непрерывных функций в точке.

71.Точки разрыва и их классификация 72.Непрерывность функции на интервале и на отрезке, их свойства

73.Производная функции, ее геометрический и физический смысл

74.Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

75.Односторонние производные функции в точке

76.Основные правила дифференцирования*

77.Производные основных элементарных функций*

78.Производная композиции функций*

79.Логарифмическое дифференцирование*

164

80.Теорема о производной обратной функции и ее применение для нахождения производных функций arctgx, arcсtgx, arcsinx, arccosx*

81.Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала, его свойства

82.Применение дифференциала для приближенных вычислений

83.Дифференциал функции. Инвариантная форма записи дифференциала.

84.Производные и дифференциалы высших порядков 85.Теоремы о среднем (Ролля, Лагранжа и Коши) их геометрическая

интерпритация.

86.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя*

87.Возрастание и убывание функций*

88.Точки экстремума. Необходимое условие существования экстремума*

89.Точки экстремума. Достаточное условие существования экстремума*

90.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

91.Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков*

92.Выпуклость и вогнутость кривой*

93.Точки перегиба*

94.Асимптоты*

95.Формула Тейлора

96.Формула Маклорена

97.Применение формулы Маклорена для разложения в ряд функции f (x) = ex 98.Применение формулы Маклорена для разложения в ряд функции f (x) = sin x

99.Применение формулы Маклорена для разложения в ряд функции f (x) = cos x

100. Применение формулы Маклорена для разложения в ряд функции

f(x) = (1+ x)α

101.Применение формулы Маклорена для разложения в ряд функции

f(x) = ln(1+ x)

102.Алгоритм исследования функций и построения их графиков с помощью производной

165