- •Линейная алгебра
- •Лекция 2
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Аналитическая геометрия
- •Лекция 5
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Уравнения прямой в отрезках
- •Совместное исследование уравнений двух прямых
- •Расстояние от точки до прямой
- •Лекция 6
- •По определению
- •Из очевидных геометрических соотношений можно записать:
- •Лекция 7
- •Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки
- •Уравнение линии в пространстве
- •Уравнения прямой в пространстве
- •Угол между прямыми в пространстве
- •Условия параллельности и перпендикулярности
- •Понятие гиперплоскости, выпуклого множества
- •Лекция 8
- •Собственные значения и собственные векторы
- •Введение в математический анализ
- •Операции над множествами
- •Отображения (функции)
- •Способы задания функций
- •Виды функций
- •Обратная функция
- •Лекция 10
- •Монотонные последовательности
- •Число е
- •Лекция 11
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых
- •Лекция 12
- •Лекция 13
- •Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •Дифференциальное исчисление функции
- •Лекция 15
- •Общие правила нахождения высших производных
- •Лекция 16
- •Исследование функций и построение графиков
- •Исследование функции на экстремум с помощью
- •Выпуклость и вогнутость кривой.
- •Лекция 18
- •Рис. 1. Два члена разложения
- •Рис. 2. Четыре члена разложения
- •Рис. 3. Шесть членов разложения
- •Теоретические вопросы к экзамену
БГЭУ 2006 |
|
|
|
|
|
лекции по высшей математике для студентов I курса |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H. |
||||||||
|
|
|
f(n)(x) = sin(x + πn/2); |
|
|
|
f(n)(0) = sin(πn/2); |
|
||||||||||
|
|
|
f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)π/2); |
f(n+1)(ε) = sin(ε + (n + 1)π/2); |
||||||||||||||
Окончательно имеем: |
|
|
|
|
x2n−1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
sin x = x − |
x3 |
x5 |
−... + (−1) |
n+1 |
|
+ R |
(x) , |
(18.10) |
||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3! |
|
5! |
|
|
|
(2n −1)! |
2n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
R |
|
(x) = |
f (2n+1) (ε) |
x2n+1 = ± |
cosε |
|
|
x2n+1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2n |
|
(2n +1)! |
|
|
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.
На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
- 1 0 |
- 5 |
5 |
1 0 |
|
- 2 |
|
|
|
- 4 |
|
|
Рис. 1. Два члена разложения |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
- 1 0 |
- 5 |
5 |
1 0 |
|
- 2 |
|
|
|
- 4 |
|
|
Рис. 2. Четыре члена разложения |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
- 1 0 |
- 5 |
5 |
1 0 |
|
- 2 |
|
|
|
- 4 |
|
|
Рис. 3. Шесть членов разложения |
|
|
|
159
БГЭУ 2006 |
|
лекции по высшей математике для студентов I курса |
|
|
|
ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H. |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
- 1 0 |
- 5 |
5 |
1 0 |
|
|
- 2 |
|
|
|
- 4 |
|
Рис. 4. Десять членов разложения Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем
количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра x0 выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение
функции от этого числа легко вычисляется. Пример 3. Вычислить значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = π/9.
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:
|
0 |
|
π |
|
π |
|
1 π |
|
3 |
1 π |
|
5 |
||||||
sin 20 |
|
= sin |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 0,348889 − 0,007078 + 0,000043 = 0,341854 |
|
9 |
9 |
3! |
9 |
5! |
9 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.
Выше говорилось, что при х→0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения,
т.е. sinx x.
Функция f(x)=cosx
Для функции cosx аналогично получим: f(x)=cosx; f(0)=1
f′(x)=-sinx; f′(0)=0; f′′(x)=-cosx; f′′(0)=-1; f′′′(x)=sinx; f′′′(0)=0;
|
|
|
f IV (x) = cos x; f IV (0) =1 и так далее. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x =1− |
x2 |
+ |
x4 |
−... + (−1) |
n |
x |
2n |
+ R |
(x) |
(18.11) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
2n+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R |
(x) = |
f (2n+2) (ε) |
x |
2n+2 |
= ± |
|
cosε |
|
|
x |
2n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2n+1 |
|
(2n |
+ 2)! |
|
|
|
|
|
(2n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Функция f(x)=(1+x)α (α - действительное число) |
|
|||||||||||||||||||||
f |
′ |
|
|
α−1 |
; f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x) =α(1 + x) |
|
(0) =α; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f |
′′ |
|
|
|
+ x) |
α−2 |
; |
′′ |
=α(α −1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x) =α(α −1)(1 |
|
|
|
f |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
160
БГЭУ 2006 |
|
|
лекции по высшей математике для студентов I курса |
|||
|
|
|
ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H. |
|||
………………………………………………….. |
|
|||||
f (n) (x) =α(α −1)(α − 2)...(α − (n −1))(1 + x)α−n ; f (n) (0) =α(α −1)(α − 2)...(α − n +1) |
|
|||||
Тогда: |
α(α −1) |
|
|
α(α −1)...(α − n +1) xn + Rn+1 (x) |
|
|
(1 + x)α =1 + α x + |
x2 |
+... + |
(18.12) |
|||
|
||||||
1 |
2 1 |
|
n! |
|
||
Rn+1 (x) = α(α −1)...(α − n) (1 +θx)α−(n+1) ; |
0 <θ <1 |
|
||||
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
Если в полученной формуле принять α=n, где n–натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1=0, тогда
(1 + x)n =1 + |
n |
x + |
n(n −1) |
x2 |
+... + xn |
(18.13) |
|
2! |
|||||
1! |
|
|
|
|||
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
|
Получаем: |
||||||
f′(x) = |
|
|
1 |
; |
|
|
|
1 + x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
′′ |
|
|
−1 |
|
; |
|
|
|
|
(1 + x)2 |
|
||||
f (x) = |
|
||||||
′′′ |
|
|
−1 (−2) |
; |
|||
f (x) = |
(1 + x)3 |
|
|||||
Функция f(x)=ln(1 + x) f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;
f ′(0) =1;
f ′′(0) = −1;
f ′′′(0) = 2;
………………………………………
f (n) (x) = (−1)n−1 |
(n −1)! |
; |
|
f ( n) (0) = (−1)n−1 (n −1)!; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(1 + x)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Окончательно имеем: ln(1 + x) = x − |
1 |
x2 + |
1 2 |
x3 −... |
+ |
(−1)n−1 (n −1)! |
xn + Rn+1 (x); или |
||||||||||||
|
3! |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|||||||
ln(1 + x) = x − |
x2 |
+ |
x3 |
−... + |
(−1)n−1 |
xn + Rn+1 (x) , |
(18.14) |
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где остаточный член имеет вид Rn+1 |
(x) = |
|
(−1)n n! |
x n+1 |
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! 1 |
+ ε |
|
|
||||||
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности.
Пример 4. Вычислить приближенно ln1,5 Решение. По формуле (18.14) имеем:
ln1,5 = ln(1 + 0,5) ≈ 0,5 − |
0,52 |
+ |
0,53 |
− |
0,54 |
+ |
0,55 |
− |
0,56 |
+ |
0,5 |
7 |
= 0,4058035 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.
161