Исследование функций и построение графиков

Возрастание и убывание функций

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f′(x) > 0 (f′(x) < 0) для a<x<b, то эта функция строго возрастает (убывает) на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть f′(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x1<x2. Тогда по теореме Лагранжа: f(x2)–f(x1)=f′(ε)(x2 – x1),

Точки экстремума

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 . Функция f(x) имеет в точке х0 максимум (минимум), если для всех точек х≠ х0 из этой окрестности выполнено неравенство: f(x0) > f(x) (f(x0) < f(x)).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции (точки максимума и точки минимума).

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер–это наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с ее близлежащими значениями.

Теорема 2. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х0 и точка х0 является точкой экстремума, то в этой точке производная функции равна нулю.

Доказательство. Предположим не ограничивая общности, что функция f(x) имеет в точке х = х0 максимум. Тогда при достаточно малых положительных ∆х>0 верно неравенство:

f (x0 + ∆x) < f (x0 ) , т.е. f (x0 + ∆x) − f (x0 ) < 0

142

Т.е. если ∆х→0, но ∆х<0, то f′(х0) ≥ 0, а если ∆х→0, но ∆х>0, то f′(х0) ≤ 0. Возможно это только в том случае, если при ∆х→0 f′(х0) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х0 минимум теорема доказывается аналогично. Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация. Геометрически условие f′(х0) = 0

означает, что в точке экстремума х0 дифференцируемой функции y=f(x) касательная к графику параллельна оси Оx.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Следствие. Непрерывная функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Критическими точками функции называются точки из области определения функции, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 3. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция y=f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки х0, и дифференцируема во всех точках этой окрестности (кроме, может быть, самой точки х0). Тогда если при переходе через точку х0 слева направо производная функции f′(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х0 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”, то функция имеет в этой точке минимум. ,Если при переходе через точку х0 слева направо производная функции f′(x) не меняет знак, то в точке х0 экстремума нет.

143

Т. к. и в первом и во втором случаях f(x)<f(x0), то можно сказать, что f(x)<f(x0) в любых точках вблизи х0, т.е. х0 – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично. Теорема доказана.

Из приведенных теорем 1-3 вытекает следующее правило исследования

функции на экстремум и нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

1.Находим область определения функции y = f (x) .

2.находим первую производную функции y = f (x) .

3. приравниваем производную к нулю f ′(x) = 0 и находим все

действительные корни полученного уравнения, а также точки из области определения, в которых производная не существует. Т.о. находим все критические точки функции.

4.на числовой прямой в области определения строим критические точки. Они разобьют область определения на ряд интервалов, в каждом из которых производная сохраняет знак.

5.определяем знак производной в каждом из полученных интервалов (для этого достаточно определить знак производной в какой-нибудь одной

точке каждого из этих интервалов). Если на рассматриваемом интервале f ′(x) > 0 , то это – интервал возрастания, если f ′(x) < 0 , то это–интервал убывания функции.

6.устанавливаем, как меняет знак производная при переходе слева направо через каждую из критических точек. Если при переходе через

критическую точку хi слева направо производная функции f′(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = хi функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”, то функция имеет в этой точке минимум.

Приведем алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего

значения (абсолютного максимума и абсолютного минимума) непрерывной на отрезке [a,b] функции y = f (x) :

1)Найти критические точки функции, принадлежащие интервалу (a,b) .

2)Найти значения функции в найденных критических точках.

3)Найти значения функции на концах отрезка.

144

БГЭУ 2006 лекции по высшей математике для студентов I курса ст. преподавателя, к. физ.-мат. н. Поддубной О.H.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее. Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = ln2 x − 2ln x

Т.о. x = e и x = 0 – критически точки исследуемой функции. Однако, отрезку

значит, начиная с некоторого момента эта величина имеет знак своего предела,

Производная f ′(x) при переходе через точку x0 меняет свой знак с “-“ на “+”.

На основании теоремы 3 в этой точке функция f(x) имеет минимум. Для случая максимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f′′(x0)=0, то характер критической точки x0 неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

145