Лекция 15

Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х0: lim ∆y = f ′(x0 ) .

∆x→0 ∆x

Тогда по теореме 2 из лекции 11 можно записать: ∆∆yx = f ′(x0 ) +α(x) , где

α(x)→0, при ∆х→0.

Следовательно, ∆y = f ′(x0 ) ∆x +α(x) ∆x .

Величина α(x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем сомножители, и в частности, чем ∆x, т.е. можно записать α(x)∆x=○(∆x). Таким образом, приращение функции имеет вид:

В формуле (15.1) элемент f′(x0)∆x является главной линейной частью приращения ∆у относительно приращения ∆x .

Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется главная линейная часть приращения функции.

0

Пример 1. Найти дифференциал функции y = x в любой точке из \. Решение. По формуле (15.2) получаем:

dy x =dx=∆x.

Таким образом, для независимой переменной x справедливо соотношение:

Если в формуле (15.6) пренебречь ο(∆x) , то получим приближенное равенство:

от латинского differentia–разность

132

Подставляя в (15.7) формулу (15.4), получаем формулу, используемую в приближенных вычислениях:

α

Из треугольника ∆MKL: KL = dy = tgα ∆x = y′∆x

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

133

Поэтому замена ∆y на dy геометрически означает замену участка кривой участком ее касательной.

Свойства дифференциала

Если u=f(x) и v=g(x) есть функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Замечание. Если х является независимой переменной, то dx=∆x, но если х зависит от t, то ∆х ≠ dx. Таким образом, форма записи dy = f′(x)∆x не является инвариантной.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) – дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

y′ = f ′(x) = df (x) dx

Если найти производную функции f′(x), получим вторую производную функции f(x).

y′′ = f ′′(x) = d 2 f (x) dx2

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные порядка n.

При этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция

( y)(0) = y

134

Если функции u=f(x) и v=g(x) дифференцируемы, то

1)(Сu)(n)=Cu(n);

2)(u ± v)(n)=u(n)± v(n);

где Cnk –число сочетаний из n элементов по k , k = 0,1,2,...,n .

Это выражение называется формулой Лейбница .

Формулу (15.12) символически можно записать в виде, удобном для запоминания:

(uv)(n) = (u + v){n}

Индекс {n} означает, что выражение (u + v){n} записывается подобно биному

Ньютона, т.е. в виде суммы с теми же коэффициентами, что и у бинома Ньютона, только вместо степеней u и v берутся их производные соответствующего порядка.

Эти формулы доказываются методом математической индукции. Дифференциал n-го порядка может быть найден по формуле

n =1) только тогда, когда x является независимым переменным.

Г.Лейбниц (1646-1716)–немецкий философ и математик.

135