14.3. Теореми про проекцію рівнодіючих сил тиску

Теорема 1. Якщо на будь-яку поверхню діє рівномірно розподілений тиск , то незалежно від форми поверхні, проекція рівнодіючих сил тиску на задану вісь дорівнює добуткові тискуна площу проекції поверхні на площину, перпендикулярну до заданої осі [9].

Доведення: припустимо, що задано поверхню (Рис.14.9), на яку діє рівномірно розподілений тиск.

Рис.14.9

Потрібно визначити проекцію на вісь рівнодіючих сил тиску. Ця проекціядорівнюватиме:

,

де  кут між нормаллю до поверхні і віссю . Площа проекції елементана площину, перпендикулярну до осі, дорівнює. Отже,

.

Таким чином, для того, щоб визначити проекцію рівнодіючих сил тиску на вісь , потрібно попередньо спроектувати поверхню на площину, а потім помножити тиск на площу цієї проекції, що і було потрібно довести.

Теорема 2. Якщо на будь-яку поверхню діє тиск рідини (Рис.14.10), то вертикальна складова сил тиску дорівнює вазі рідини в об’ємі, розташованому над поверхнею [9].

Рис.14.10

Доведення:

Вертикальна складова сил тиску для площадки відповідно до першої теореми буде дорівнювати добуткові тиску, що діє на цю площадку, на проекцію площадки на рівні рідини, тобто. Зважаючи на те, що, де питома вага рідини, вертикальна сила, що діє на площадку , дорівнюватиме.

Але  об’єм елементарної призми, розташованої над площадкою . Отже, сумарна шукана сила дорівнюватиме вазі рідини в об’ємі, розташованому над поверхнею .

Потрібно відзначити, що знайдена сила не залежить від форми посудини, що утримує рідину. На рис.14.11 наведені три посудини, для кожної з яких сила, що діє на дно посудини, буде однаковою, рівною вазі рідини, в об’ємі розташованого вище циліндра АВС.

Рис.14.11

Розглянемо деякі приклади розрахунку на міцність тонкостінних оболонок.

Приклад 14.4. Визначити товщину стінки чавунної водопровідної труби діаметром 120 см при висоті напору 100м. Допустиме напруження на розтягання чавуну прийняти МПа.

Розв’язок:

1. Визначимо максимальний тиск у водопровідній трубі при висоті напору м. Питома вага води складаєкН/м³. Тоді за законом Паскаля

МПа.

2. Визначаємо колові і меридіональні напруження, що діють у трубі:

; . (а)

3. Використовуючи третю теорію найбільших дотичних напружень, записуємо умову міцності:

. (б)

Беручи до уваги, що , і підставляючи напруження(а) у (б), одержимо:

. (в)

4. З умови міцності (в) визначаємо товщину стінки водопровідної труби:

м мм.

Приклад 14.5. Яку максимальну висоту напору можна допустити у вініпластовій водопровідній трубі з зовнішнім діаметром мм і внутрішнім діаметроммм? Допустиме напруження на тривале розтягання вініпласту можна прийнятиМПа. Використати третю теорію міцності.

Розв’язок:

1. Визначаємо товщину стінки водопровідної труби і радіус її серединної поверхні:

мм; мм.

2. Визначаємо максимальну висоту напору . Для цього скористаємося умовою міцності (в), отриманої у попередньому прикладі. З умови (в) знаходимо:

.

Звідки:

м.

Приклад 14.6. Котел має діаметр циліндричної частини 2м. Він перебуває під робочим тиском МПа. Підібрати товщину стінки котлапри допустимому напруженніМПа, використовуючи третю теорію міцності. Яка була б необхідна товщина при використанні четвертої теорії міцності?

Розв’язок:

1. Визначаємо колові і меридіональні напруження в стінці котла:

; . (а)

2. Визначаємо товщину стінки котла, скориставшись третьою теорією міцності. Відповідно до цієї теорії розрахункові напруження в стінці котла дорівнюють:

. (б)

Приймаючи до уваги, що , і підставляючи напруження(а) у (б), одержимо:

. (в)

Звідки

м = 16мм.

3. Визначаємо товщину стінки котла за четвертою теорією міцності. Умова міцності за цією теорією має вигляд:

. (г)

Зважаючи на те, що , і підставляючи напруженняі(а) у (г), одержимо:

. (д)

Звідки

ммм.

Приклад 14.7. Кисневі балони являють собою сталеві циліндричні посудини з зовнішнім діаметром мм і товщиною стінкимм. Який буде запас міцності стінки балона, якщо робочий тиск у ньому досягнеМПа? Границя міцностіМПа. Застосувати четверту теорію міцності.

Розв’язок:

1. Використовуючи четверту теорію міцності, знайдемо величину розрахункового напруження в стінці балона. Для цього скористаємося виразом (д) з попереднього прикладу:

МПа.

2. Визначаємо коефіцієнт запасу міцності:

.

Приклад 14.8. Резервуар для бензину має форму тіла обертання і розміри, наведені на рис.16.12. Резервуар підвішений за верхній край і цілком заповнений бензином з питомою вагою кН/м³. Товщина стінки резервуару дорівнює мм. Міцність стінки в місці сполучення циліндричної і конічної частин резервуару забезпечена спеціальним кільцевим поясом. Визначити в стінці резервуару найбільші нормальні напруження в меридіональному та коловому напрямках.

Рис.14.12

Розв’язок:

1. Скористаємося для вирішення задачі формулами, наведеними в прикладі 14.3. Максимальні колові напруження виникають у стінці конічної частини резервуару і мають реальний сенс, якщо висота конічної частини резервуару виявиться більшою за висоту циліндричної частини. У прикладі, що розглядається, висота конічної частини резервуарум більша за висоту циліндричної частиним. Отже, максимальне колове напруження дорівнює:

МПа,

де ;.

2. Максимальне меридіональне напруження також виникає у стінці конічної частини резервуару і буде дійсним, якщо . Дійсно:м. Отже, максимальне меридіональне напруження в стінці конічної частини резервуару дорівнює:

МПа.

Приклад 14.9. Вертикальний циліндричний резервуар з напівсферичним днищем доверху заповнений водою (Рис.14.13,а). Товщина бічних стінок і днища дорівнює мм. Визначити найбільші напруження в циліндричній і сферичній частинах резервуару.

Рис.14.13

Розв’язок:

1. Визначимо тиск стовпа води на глибині м им за законом Паскаля. На глибинім тиск складаєкН/м², на глибині мкН/м². На рис.14.13,б показаний закон розподілу тиску по висоті резервуару.

2. Максимальне колове напруження виникне в межах циліндричної частини резервуару на глибині м у перерізі А:

МПа.

3. Максимальне меридіональне напруження виникне у напівсферичній частині резервуару на глибині м у перерізі В:

МПа.