Аналіз і розв’язання

Розглянемо стохастичну модель з навчанням.

Припустимо, що попит на t-му проміжку часу залежить лінійно від поточної ціни. Вважатимемо, що попит на ринку має випадковий характер (є випадковою величиною). Для формалізованого опису необхідно, визначити на основі доступної інформації оцінки коефіцієнтів лінійного рівняння у моделі:

D_t = a — bX_t + u_t,

де D_t — попит на t-му проміжку часу; a, b — коефіцієнти лінійної регресії (b > 0); X_t — ціна одиниці продукції на t-му проміжку часу; u_t — випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням _u.

У результаті відповідних обчислень можна отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії, й рівняння лінійної регресії матиме вигляд:

Ď_t = A — BX_t, (2.2.5)

де Ď_t — розрахункове значення попиту на t-му проміжку часу: A, B — оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії (B > 0).

Припустимо, що пропозиція впродовж поточного проміжку часу також лінійно (в середньому) залежить від ціни, але не поточної, а такої, що являє собою комбінацію цін у двох попередніх періодах часу. У найпростішому випадку це може бути середнє значення цін протягом двох попередніх періодів. Крім того, вважатимемо, що пропозиція на ринку має випадковий характер (є випадковою величиною). Отже, для моделювання пропозиції можна використовувати таку залежність:

S_t = c + kX() + v_t,

де S_t — пропозиція впродовж t ‑ го проміжку часу; c, k — коефіцієнти лінійної регресії (k > 0); X() — середньозважене значення цін на двох попередніх проміжках часу; v_t — випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням _v.

Після відповідних обчислень можна отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії, і рівняння лінійної регресії матиме такий вигляд:

Š_t = C — KX(), (2.2.6)

де Š_t — розрахункове значення пропозиції впродовж t-го проміжку часу, C, K — оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії (K >0).

Ціна X() може визначатись за формулою

X() = X_t­1 — (X_t­1 — X _t­2), (2.2.7)

де X_t­1 — ціна на (t­1)-му проміжку часу; X _t­2 — ціна на (t-2)-му проміжку часу;  — ваговий коефіцієнт, значення котрого задається в діапазоні: 0    1.

До моделі необхідно ще долучити рівняння локальної рівноваги ринку:

S_t = D_t + w_t,

де S_t — пропозиція на t ‑ му проміжку часу; D_t — попит на t ‑ му проміжку часу; w_t — випадкова величина, котра має заданий закон розподілу. Можна прийняти гіпотезу, що w_t має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням та середньоквадратичним відхиленням _w. З урахуванням (2.2.5) та (2.2.6) рівняння локальної рівноваги матиме вигляд:

Š_t = Ď_t (2.2.8)

Система рівнянь (2.2.5) — (2.2.8), після відповідних простих перетворень зводиться до такого виразу:

X_t = F(X_t­1, X_t­2), (2.2.9)

де F(X_t-1, X_t-2) — оцінка функції кореляційно-регресійного зв’язку між змінними X_t, X_t­1, X_t­2.

Спочатку певним наближеним способом визначають ціну для перших двох проміжків часу. Після цього можна проводити обчислення згідно з виразом (2.2.9) необхідну кількість разів (ітерацій).

Задача аналізу полягає у дослідженні впливу параметрів системи на характер залежності ціни як функції часу, а також у визначенні рівноважної ціни.