Тема 2. Концептуальні засади математичного моделювання економіки

«Павутиноподібна» модель ринку

Як приклад економічної моделі розглянемо спрощений (ідеалізований) варіант так званої «павутиноподібної» моделі, яка описує процес формування попиту і пропозиції певного товару чи виду послуг на конкурентному ринку (за умов досконалої конукренції).

Йдеться про формалізацію економічного закону попиту та пропозиції, який проголошує:

• кількість товару, який можна продати на ринку (тобто попит), змінюється у напрямі, протилежному до зміни ціни товару;

• кількість товару, яку продавці виробляють і доставляють на ринок (тобто пропозиція), змінюється у тому ж напрямі, що й ціна;

• реальна ринкова ціна формується на рівні, за якого попит і пропозиція наближено дорівнюють одне одному (приблизно збігаються, із деякою заданою точністю), тобто перебувають у рівновазі; ціна, за якої досягається рівновага між попитом і пропозицією, називається рівноважною.

Розглядаючи «павутиноподібну» модель, приймають гіпотезу, що функції пропозиції і попиту залежать лише від ціни товару:

, ,

де — кількість товару, яку товаровиробники доставляють на ринок, тобто пропозиція;— деяка монотонно зростаюча функція;— кількість товару, який можна продати на ринку, тобто попит;— деяка монотонно спадна функція.

Графіки попиту і пропозиції перетинаються у точці рівноваги, а ціна, що відповідає цій точці , і є рівноважною ціною. Враховуючи властивості кривих попиту і пропозиції, рівноважний розв’язок є стійким у тому сенсі, що якщо ціна строго фіксована і рівна рівноважній ціні, то товаровиробник, максимізуючи прибуток, доставляє на ринок товар у кількості; одночасно споживач, що намагається максимізувати свою функцію корисності, формує попит. При встановленні рівноважної ціни на ринку досконалої конкуренції кількість товару, що пропонується товаровиробником за цією ціною, дорівнює попиту споживача:

.

Динамічні нерівноважні моделі ринку використовуються, коли у початковий момент часу ціна на ринку відрізняється від рівноважної. При цьому процес встановлення рівноважної ціни може бути описаний різними моделями за одних і тих самих функцій попиту й пропозиції. Розрізняють два підходи:

1. неперервний, коли динаміка цін описується диференційним рівнянням;

2. дискретний, коли значення змінних на проміжку часу [t; t+1) вважаються сталими. В цьому разі послідовним інтервалам часу [t; t+1) відповідають значення ціни , попитуі пропозиції.

Розглянемо «павутиноподібну» модель із дискретним часом. Нехай — ціна товару в момент часуt, і— кількість товару, купленого і пропонованого відповідно на ринку в той самий момент часуt.

У моделі приймаються дві гіпотези: 1) виробники-продавці, формуючи пропозицію, орієнтуються на ціну попереднього періоду; 2) ринок завжди перебуває у стані локальної рівноваги.

Подамо математичну формалізацію цих положень:

1. обсяг пропозиції на ринку в момент часу t визначається значенням ціни попереднього періоду: , де— деяка монотонно зростаюча функція від аргументаX (тобто від ціни);

2. на ринку в кожний момент часу t встановлюється рівноважна ціна , причому ця ціна є розв’язком рівняння. Якщо, де— монотонно спадна функція від аргументаX (тобто від ціни), то рівняння для визначення ціни матиме вигляд:.

Рівноважний стан «павутиноподібної» моделі буде стійким, якщо існують границі:

де — рівноважна ціна.

Математичні співвідношення, що відображають закон попиту— пропозиції, можуть бути проілюстровані рис. 2.2.2.

Р

S₂

S_t

Ціна, X

ис. 2.2.2. Графік формування попиту — пропозиції

Як бачимо, процес формування рівноважної ціни почався з призначення в 1-й (початковий) момент часу ціни на рівні . Продовження цього процесу (індексовано стрілками) «павутиноподібно» прямує до точки перетину кривихі.

Щоб описана модель з економічної перетворилась в економетричну, необхідно говорити не взагалі про закон попиту і пропозиції, а про конкретну його дію в даному секторі економіки, в певний час і стосовно конкретного товару (чи виду послуг). Відповідно, конкретизація вигляду функцій іповинна проводитись на підставі статистичних даних величин,,, де, Т — кількість періодів, протягом яких здійснювався моніторинг і отримані дані.

Приклад «Павутиноподібної» моделі фірми

Підприємець збирається вкласти кошти у створення фірми, котра випускатиме товар і реалізовуватиме його на ринку. Його цікавить, як поводитиме себе ціна товару за зміни обсягів виробництва, чи буде вона стабільною за певних умов.