2.2. Ілюстративний матеріал до вивчення тем курсу (економіко — математичні моделі, приклади та їх розв’язання)

Тема 1. Економіка як об’єкт моделювання Економічні колізії та моделювання економіки

Спробуємо описати математичною мовою колізії, що виникають у ситуації, коли ринкові механізми зіштовхуються з монополією.

Приймемо гіпотезу, згідно з якою економічна система прагне до максимізації сумарного економічного ефекту (), тобто сумарного прибутку:

, (2.2.1)

де Q — випуск продукту; u(Q) — функція валового економічного ефекту (корисності); — приріст валового економічного ефекту (корисності) від кожної додаткової одиниці продукції;s(Q) — витрати на виробництво; — приріст витрат на виробництво додаткової одиниці продукції.

Перший елемент правої частини цього виразу характеризує валовий економічний ефект, другий — витрати на виробництво всього обсягу продукції, а вираз у цілому — сумарний економічний ефект (продукт).

Легко показати, що розширення виробництва буде доцільним лише доти, доки додаткові витрати не зрівняються з додатковим валовим економічним ефектом від споживання. Математично це положення можна довести, знайшовши максимум наведеного вище виразу (2.2.1). Якщо продиференціювати поQ і похідну прирівняти до нуля, то точкою екстремуму функції буде точка, в якій. Точкабуде точкою максимуму функції, оскільки для функційu(Q), s(Q) повинні виконуватись умови:

(2.2.2)

Тому обсяг виробництва, котрий забезпечує максимум сумарного ефекту, відповідатиме точці , у якій додатковий валовий ефект споживання дорівнює додатковим витратам на виробництво одиниці продукції.

Але в умовах ринкової економіки сумарний економічний ефект розподіляється між виробником продукції, її споживачем і бюджетом. Характер цього розподілу значною мірою визначає зацікавленість економічних суб’єктів у досягненні суспільної ефективності, тобто у досягненні точки оптимуму виробництва.

У чому ж полягають економічні інтереси виробника (l) і споживача (с)? Очевидно, що виробник зацікавлений у максимізації різниці між обсягом реалізації за ціною та витратами:

,

де — прибуток виробника.

Споживачеві важливо максимізувати різницю між економічним ефектом від використання продукції та ціною за неї:

,

де — прибуток споживача.

Якщо виробник не є монополістом, тобто не в змозі вплинути на рівень цін (вільна конкуренція), тобто ціна p не залежить від Q, то максимум ефекту виробника (враховуючи умови (2.2.2)) буде досягнутий у точці, де похідна поQ дорівнюватиме нулеві:

,

тобто, коли граничні витрати дорівнюють ціні продукції, а максимум ефекту споживача — в точці, де:

Максимум сумарного ефекту досягається за обсягу виробництва (), котрий характеризується співвідношенням:

Звідси можна зробити висновок, що виробник буде зацікавлений виробити оптимальний, з погляду народного господарства обсяг продукції (), а споживач — повністю використати цю продукцію за умови встановлення цін на рівні:

Але якщо виробник контролює значну частку ринку (випуску продукції, галузі) і має право впливати на визначення обсягів випуску продукції, то його інтереси розходяться з народногосподарськими інтересами. Формально цю суперечність можна показати таким чином. Якщо , то

Споживачі не можуть впливати на обсяги та ціну. Тобто максимум ефекту виробника буде досягнутим за умови:

Отже, цей результат свідчить, що, за можливості контролювати значну масу продукції з боку виробника, точка його оптимуму не збігається з точкою народногосподарського оптимуму.

Раціональною є гіпотеза щодо від’ємної еластичності цін і обсягу виробництва (зі зростанням обсягів виробництва ціни на продукцію знижуються), тобто .

Виробник, прагнучи до максимізації свого локального критерію, буде здебільшого зацікавлений у заморожуванні виробництва на рівні нижчому, ніж оптимальний з погляду народного господарства:

,

і, відповідно, у завищенні цін:

,

оскільки

За подібних умов державне регулювання економіки повинно забезпечити таку організаційну систему функціонування об’єктів господарювання, яка використовувала б ефективні методи вилучення певного обсягу отриманих доходів у великих виробничих об’єднань (монополій), або недопущення монопольно високих доходів. Тобто державне регулювання економіки в даному разі є необхідним.