Загальна фізика / Теоретичні курси / Молекулярна фізика та термодинаміка

Вираз (1.25) називається барометричною формулою. Вона дозволяє знайти атмосферний тиск залежно вiд висоти або, змiрявши тиск, знайти висоту. Оскiльки висоти позначаються вiдносно рiвня моря, де тиск вважається нормальним, то вираз (1.25) може бути записаний у виглядi

де тиск на висотi h.

Прилад для визначення висоти над земною поверхнею називається висотомiром (або альтиметром). Його робота заснована на використаннi формули (1.26). З цiєї формули слiдує, що тиск з висотою убуває тим швидше, чим важчий газ.

Барометричну формулу (1.26) можна перетворити, якщо скористатися виразом (1.11) p = nkT :

n = n0e−Mgh/(RT)

де n концентрацiя молекул на висотi h, n0 те ж, на висотi h = 0. Оскiльки M = m0NA (NA постiйна Авогадро, m0 маса однiєї молекули), R = kNA, тобто

де m0gh = Π потенцiйна енергiя молекули в полi тяжiння, тобто

Вираз (1.28) називається розподiлом Больцмана для зовнiшнього потенцiйного поля. З нього слiдує, що при постiйнiй температурi густина газу бiльше там, де менше потенцiйна енергiя його молекул.

Якщо частинки мають однакову масу i знаходяться в станi хаотичного теплового руху, то розподiл Больцмана (1.28) справедливий в будь-якому зовнiшньому потенцiйному полi, а не тiльки в полi сил тяжiння.

1.6.Середнє число зiткнень i середня довжина вiльного пробiгу молекул

Молекули газу, знаходячись в станi хаотичного руху, безперервно спiвударяються одна з одною. Мiж двома послiдовними зiткненнями молекули проходять деякий шлях l, який називається довжиною вiльного пробiгу.

В загальному випадку довжина шляху мiж послiдовними зiткненнями рiзна, але оскiльки ми маємо справу з величезним числом молекул i вони знаходяться в безладному русi, то можна говорити про середню довжину вiльного пробiгу молекул hli. Мiнiмальна вiдстань, на яку зближуються при зiткненнi центри двох молекул, називається ефективним дiаметром молекули d (Рис.??). Вiн залежить вiд швидкостi молекул, що спiвударяються, тобто вiд температури газу (дещо зменшується iз зростанням температури). Оскiльки за 1 с молекула проходить в середньому шлях, який дорiвнює

середнiй арифметичнiй швидкостi hυi, i якщо hzi середнє число зiткнень, якi зазнає одна молекула газу за 1 с, то середня довжина вiльного пробiгу

hli = hυi/hzi

Для визначення hzi представимо собi молекулу у виглядi кульки дiаметром d, яка рухається серед iнших ”застиглих” молекул. Ця молекула зiткнеться тiльки з тими молекулами, центри яких знаходяться на вiдстанях, рiвних або менших d, тобто лежать усерединi ”ламаного” цилiндра радiусом d (Рис.??). Середнє число зiткнень за 1с дорiвнює числу молекул в об’ємi ”ламаного” цилiндра.

hzi = nV

де n концентрацiя молекул V = πd2hυi (hυi середня швидкiсть молекули або шлях, пройдений нею за 1 с ). Таким чином, середнє число зiткнень

hzi = nπd2hυi

Розрахунки показують, що при врахуваннi руху iнших молекул

√

hzi = 2πd2nhυi

Тодi середня довжина вiльного пробiгу

.√ hli = 1 2nπd2

тобто hli обернено пропорцiйна концентрацiї n молекул. З iншого боку, з (1.11) слiдує, що при постiйнiй температурi n пропорцiйна тиску p. Отже

hl1i = n2 = p2 hl2i n1 p1

1.7.Експериментальне обгрунтування молекулярно - кiнетичної теорiї

Розглянемо деякi явища, якi експериментально пiдтверджують основнi положення i висновки молекулярнокiнетичної теорiї.

1.Броунiвський рух. Шотландський ботанiк Р. Броун (1773 1858), спостерiгаючи пiд мiкроскопом суспензiю квiткового пилку у водi, знайшов, що частинки пилку жваво i безладно рухалися, то обертаючись, то перемiщаючись з мiсця на мiсце, подiбно порошинкам в сонячному променi. Згодом виявилося, що подiбний складний зигзагоподiбний рух характерний для будь-яких частинок малих розмiрiв ( 1 мкм), завислих в газi або рiдинi. Iнтенсивнiсть цього руху, названного броунiвським, пiдвищується iз зростанням температури середовища, iз зменшенням в’язкостi i розмiрiв частинок (незалежно вiд їх хiмiчної природи). Причина броунiвського руху довго залишалася неясною. Лише через 80 рокiв пiсля виявлення цього ефекту йому було дано пояснення: броунiвський рух завислих частинок викликається ударами молекул середовища, в якому частинки зависли. Оскiльки молекули рухаються хаотично, то броунiвськi частинки одержують поштовхи з рiзних сторiн, тому i здiйснюють рух такої химерної форми. Таким чином, броунiвський рух є пiдтвердженням висновкiв молекулярно-кiнетичної теорiї про хаотичний (тепловий) рух атомiв i молекул.

2.Дослiд Штерна. Перше експериментальне визначення швидкостей молекул виконано нiмецьким фiзиком О. Штерном (1888 1970). Його дослiди дозволили також оцiнити розподiл молекул по швидкостях. Схема установки Штерна представлена на (Рис.1.11)Уздовж осi внутрiшнього цилiндра з щiлиною натягнутий платиновий дрiт покритий шаром срiбла, який нагрiвається струмом при вiдкачаному повiтрi. При нагрiваннi срiбло випаровується. Атоми срiбла, вилiтаючи через щiлину, потрапляють на внутрiшню поверхню другого цилiндра, i дають зображення щiлини . Якщо прилад привести в обертання навкруг загальної осi цилiндрiв, то атоми срiбла осядуть не проти щiлини, а змiстяться вiд точки

Она деяку вiдстань s. Зображення щiлини виходить розмитим. Дослiджуючи товщину осадженного шару, можна оцiнити розподiл молекул по швидкостях, який вiдповiдає максвелловському розподiлу.

Знаючи радiуси цилiндрiв, їх кутову швидкiсть обертання, а також вимiрюючи s, можна обчислити

швидкiсть руху атомiв срiбла при данiй температурi дроту. Результати дослiду показали, що середня швидкiсть атомiв срiбла близька до тiєї, яка виходить з максвелловського розподiлу молекул по швидкостях.

3.Дослiд Ламмерт. Цей дослiд дозволяє бiльш точно визначити закон розподiлу молекул по швидкостях. Схема вакуумної установки приведена на (Рис.1.12). Молекулярний пучок, сформований джерелом, проходячи через щiлину, потрапляє в приймач. Мiж джерелом i приймачем помiщають два диски з прорiзами, закрiпленi на загальнiй осi. При нерухомих дисках молекули досягають приймача, проходячи через прорiзи в обох дисках. Якщо вiсь привести в обертання, то приймача досягнуть тiльки тi молекули, що пройшли прорiз в першому диску, якi затрачують для пробiгу мiж дисками час, рiвний або кратний часу обороту диска. Iншi ж молекули затримуються другим диском.

Мiняючи кутову швидкiсть обертання дискiв i вимiрюючи число молекул, що потрапляють в приймач, можна виявити закон розподiлу молекул по швидкостях. Цей дослiд також пiдтвердив справедливiсть максвелловського розподiлу молекул по швидкостях.

4.Дослiдне визначення постiйної Авогадро. Скориставшись iдеєю розподiлу молекул по висотi (див. формулу (1.27)), французький учений Ж. Перрен (1870 1942) експериментально визначив значення постiйнiй Авогадро. Дослiджуючи пiд мiкроскопом броунiвський рух, вiн переконався, що броунiвськi частинки розподiляються по висотi

подiбно молекулам газу в полi тяжiння. Застосувавши до них розподiл Рис. 1.12.

Больцмана, можна записати

n = n0e−(m−m1)gh/(kT )

де m маса частинки , m1 масса витисненої нею рiдини; m = 4/3πr3ρ, m1 = 4/3πr3ρ1, (r радiус частинки ρ густина частинки ρ1 густина рiдини).

Якщо n1 i n2 концентрацiї частинок на рiвнях h1 i h2, а k = R/NA то

3RT ln (n1/n2)

NA = 4πr3 (ρ − ρ1) g (h2 − h1)

Значення NA, яке одержане в роботах Ж. Перрена, вiдповiдало значенням, отриманим в iнших дослiдах, що пiдтверджує застосовнiсть до броунiвських частинок розподiлу (1.27).

1.8.Явища переносу в термодинамiчно нерiвноважних системах

В термодинамiчно нерiвноважних системах виникають особливi необоротнi процеси, якi називаються явищами переносу, в результатi яких вiдбувається просторове перенесення енергiї, маси, iмпульсу. До явищ переносу вiдносяться теплопровiднiсть (обумовлена перенесенням енергiї), дифузiя (обумовлена перенесенням маси) i внутрiшнє тертя (обумовлено перенесенням iмпульсу). Для простоти обмежимося одновимiрними явищами переносу. Систему вiдлiку виберемо так, щоб вiсь x була орiєнтована у напрямi переносу.

1.Теплопровiднiсть. Якщо в однiй областi газу середня кiнетична енергiя молекул бiльше, нiж

вiнший, то з часом внаслiдок постiйних зiткнень молекул вiдбувається процес вирiвнювання середнiх кiнетичних енергiй молекул, тобто, iншими словами, вирiвнювання температур.

Перенос енергiї у формi теплоти пiдкоряється закону Фурье:

де jE густина теплового потоку величина, яка визначається енергiєю, яка переноситься у формi теплоти в одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну осi x, λ теплопровiднiсть, dTdx

градiєнт температури, який дорiвнює швидкостi змiни температури на одиницю довжини x у напрямi нормалi до цiєї площадки. Знак мiнус показує, що при теплопровiдностi енергiя переноситься у напрямi убування температури (тому знаки jE i dTdx протилежнi). Теплопровiднiсть λ чисельно дорiвнює густинi теплового потоку при градiєнтi температури, який дорiвнює одиницi. Можна показати, що

де cV питома теплоємнiсть газу при постiйному об’ємi(кiлькiсть теплоти, необхiдна для нагрiвання 1 кг газу на 1 К при постiйному об’ємi ) ρ густина газу < υ > середня швидкiсть теплового руху молекул < l > середня довжина вiльного пробiгу.

2.Дифузiя. Явище дифузiї полягає в том, що вiдбувається мимовiльне проникнення i перемiшування частинок двох дотичних газiв, рiдин i навiть твердих тiл; дифузiя зводиться до обмiну мас частинок цих тiл, виникає i продовжується, поки iснує градiєнт густини. Пiд час становлення молекулярнокiнетичної теорiї з питання дифузiї виникли суперечностi. Оскiльки молекули рухаються з величезними швидкостями, дифузiя повинна вiдбуватися дуже швидко. Якщо ж вiдкрити в кiмнатi посудину з пахучою речовиною, то запах розповсюджується досить поволi. Проте суперечностi тут немає. Молекули при атмосферному тиску мають малу довжину вiльного пробiгу i, спiвударяючись з iншими молекулами, в основному ”стоять” на мiсцi.

Явище дифузiї для хiмiчно однорiдного газу пiдкоряється закону Фiка:

де jm густина потоку маси величина, яка визначається масою речовини, диффундуючої в одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну осi x, D дифузiя (коефiцiєнт дифузiї),dxdρ

градiєнт густини, який дорiвнює швидкостi змiни густини на одиницю довжини x у напрямi нормалi до цiєї площадки. Знак мiнус показує, що перенос маси вiдбувається у напрямi убування густини (тому

знаки jm i dxdρ протилежнi). Дифузiя D чисельно дорiвнює густинi потоку маси при градiєнтi густини, рiвному одиницi. Згiдно кiнетичної теорiї газiв

3.Внутрiшнє тертя (в’язкiсть). Механiзм виникнення внутрiшнього тертя мiж паралельними шарами газу (рiдини), що рухаються з рiзними швидкостями, полягає в том, що через хаотичний тепловий рух вiдбувається обмiн молекулами мiж шарами, внаслiдок чого iмпульс шару, що рухається швидше, зменшується, що рухається повiльнiше збiльшується, це приводить до гальмування шару, що рухається швидше, i прискоренню шару, що рухається повiльнiше.

Згiдно формули (??), сила внутрiшнього тертя мiж двома шарами газу (рiдини) пiдкоряється закону Ньютона:

де η динамiчна в’язкiсть (в’язкiсть), dυ/dx градiєнт швидкостi, що показує швидкiсть змiни швидкостi у напрямi x, перпендикулярному напряму руху шарiв, S площа, на яку дiє сила F .

Взаємодiю двох шарiв згiдно другого закону Ньютона можна розглядати як процес, при якому вiд одного шару до iншого в одиницю часу передається iмпульс, по модулю рiвний дiючiй силi. Тодi вираз (1.33) можна представити у виглядi

де jp густина потоку iмпульсу величина, яка визначається повним iмпульсом, що переноситься в одиницю часу в позитивному напрямi осi x через одиничну площадку, перпендикулярну осi x, dυdx градiєнт швидкостi. Знак мiнус вказує на те, що iмпульс переноситься у напрямi убування швидкостi (тому знаки jp i dυdx протилежнi).

Динамiчна в’язкiсть η чисельно дорiвнює густинi потоку iмпульсу при градiєнтi швидкостi, рiвному одиницi; вона обчислюється по формулi

Iз порiвняння формул (1.29), (1.31) i (1.34), що описують явища переносу слiдує, що закономiрностi всiх явищ переносу схожi мiж собою. Цi закони були встановленi задовго до того, як вони були обгрунтованi i виведенi з молекулярно-кiнетичної теорiї, яка дала можливiсть встановити, що зовнiшня схожiсть їх математичних виразiв обумовлена спiльнiстю молекулярного механiзму перемiшування молекул в процесi їх хаотичного руху i зiткнень один з одним, який лежить в основi явищ теплопровiдностi, дифузiї i внутрiшнього тертя.

Розглянутi закони Фурье, Фiка i Ньютона не розкривають молекулярно-кiнетичного значення коефiцiєнтiв λ D i η Вирази для коефiцiєнтiв переносу виводяться з кiнетичної теорiї. Вони записанi без доведення, оскiльки строгий розгляд явищ переносу досить громiздкий, а якiсний не має сенсу. Формули (1.30), (1.32) i (1.35) зв’язують коефiцiєнти переносу i характеристики теплового руху молекул. З цих формул слiдує проста залежнiсть мiж λ D i η

η = ρD λ/(ηcV ) = 1

Використовуючи цi формули, можна по знайдених з експерименту одних величинах визначити iншi.

1.9.Вакуум i методи його отримання. Властивостi ультрарозрiджених газiв

Якщо з посудини вiдкачувати газ, то в мiру пониження тиску число зiткнень молекул один з одним зменшується, що приводить до збiльшення їх довжини вiльного пробiгу. При достатньо великому розрiдженнi, зiткнення мiж молекулами вiдносно рiдкiснi, тому основну роль грають зiткнення молекул iз стiнами посудини. Вакуумом називається стан газу, при якому середня довжина вiльного пробiгу

hli порiвнянна або бiльше характерного лiнiйного розмiру d посудини, в якiй газ знаходиться. Залежно вiд спiввiдношення hli i d розрiзняють низький ( hli > d), середнiй (hli ≤ d), високий (hli > d) i надвисокий (hli d) вакуум. Газ в станi високого вакууму називається ультрарозрiдженим.

Питання створення вакууму мають велике значення в технiцi, оскiльки, наприклад, в багато яких сучасних електронних приладах використовуються електроннi пучки, формування яких можливе лише в умовах вакууму. Для отримання рiзних ступенiв розрiдження застосовуються вакуумнi насоси. В даний час застосовуються вакуумнi насоси, що дозволяють отримати попереднє розрiдження ( форвакуум ) до ≈0,13 Па, а також вакуумнi насоси i лабораторнi пристосування, що дозволяють отримати тиск до 13,3 мкПа 1,33 пПа (10 −7 10 −14 мм рт. ст.).

ртуть нагрiвається, пари ртутi, пiдiймаючись по трубцi 1, вириваються з сопла 2 з великою швидкiстю, захоплюючи за собою молекули газу з вiдкачуваної посудини (в ньому створений попереднiй вакуум).