4. Понятие об оптимизации электродных систем

Задача оптимизации электродных систем обычно заключается в определении формы и размеров электродов, при которых напряженность электрического поля была бы минимально возможной и постоянной по поверхности электродов.

Задачи оптимизации электродных систем являются в большинстве случаев более сложными, чем расчет электрического поля и они не всегда имеют решение в обычной постановке. Лишь в отдельных случаях наиболее простых конфигураций электродных систем удается получить решение оптимизационной задачи в аналитическом виде. Это возможно, например для сферического и цилиндрического конденсаторов. Рассмотрим из отдельно.

Сферический конденсатор. Из найденного решения (3.6) видно, что максимальная величина напряженности поля реализуется на поверхности внутреннего электрода, когда . Считается, что наружный радиус конденсаторазадан (рис. 7). Ставится задача определения такого значения радиуса внутреннего электрода, при котором при приложении напряжениянапряженность поля на внутреннем электроде была бы минимально возможной.

Для решения поставленной задачи необходимо найти экстремум функции, которой является напряженность поля на внутреннем электроде по переменной . Иными словами необходимо найтииз уравнения:

. (3.22)

Решением уравнения является следующее значение

, (3.23)

при котором достигается минимальная напряженность поля, равная

. (3.24)

Цилиндрический конденсатор. Для данной электродной системы (рис. 8) минимально возможное значение напряженности электрического поля на внутреннем электроде определяется из условия из условия экстремума для функции (3.11) при :

. (3.25)

В результате находим , что минимально возможная напряженность поля будет при

, (3.26)

где - основание натурального логарифма.

При этом на внутреннем электроде напряженность поля оказывается

. (3.27)

Исходя из выражений (3.24) и (3.27) легко показать, что для рассмотренных оптимизированных электродных систем степень неоднородности поля в цилиндрическом конденсаторе несколько меньше, чем в сферическом конденсаторе, где.