3.2. Разноименно заряженные соосные цилиндрические электроды (цилиндрический конденсатор)

Предполагается, что длина цилиндрического конденсатора значительно больше его радиуса и поэтому рассматривается бесконечно длинная система электродов (рис. 8а). В этом случае для расчетов целесообразно использовать цилиндрическую систему координат, причем, в силу осевой симметрии потенциал будет изменяться только в радиальном направлении .

У

равнение Лапласа и краевые условия принимают следующий вид:

(3.7)

Общее решение дифференциального уравнения в (3.7) будет

. (3.8)

Исходя из краевых условий в (3.7), постоянные иоказываются

.(3.9)

В результате распределение потенциала по радиусу цилиндрической системы будет

. (3.10)

Вектор напряженности электрического поля имеет только радиальную компоненту. Она определяется

. (3.11)

На рис. 8б показано изменение напряженности электрического поля вдоль радиуса цилиндрической электродной системы.

3.3. Две разноименно заряженные параллельные плоскости (плоский конденсатор)

3.3.1. Электрическое поле при отсутствии объемного заряда (,)

Это наиболее простой случай расчета поля и он приводится здесь, в первую очередь, для того чтобы в дальнейшем сравнивать с ним распределение поля при наличии в промежутке между плоскостями объемного заряда.

Приизадача формулируется, как и прежде, следующим образом.

(3.12)

Общее решение дифференциального уравнения:

. (3.13)

Из значений потенциала на обкладках находим постоянные и:

. (3.14)

В результате изменение потенциала между обкладками плоского конденсатора будет

. (3.15)

Напряженность поля в данном случае является постоянной величиной:

. (3.16)

Соответствующие графики изменения потенциала и напряженности поля даны на рис. 9.

3.3.2. Электрическое поле плоского конденсатора с объемным зарядом, равномерно распределенным во всем объеме между разноименно заряженными плоскостями (,)

В данном случае вместо уравнения Лапласа имеем уравнение Пуассона, в котором правая часть принимает постоянное значение. В результате задача расчета поля формулируется следующим образом:

(3.17)

Интегрируя уравнение в (3.17), найдем его общее решение:

. (3.18)

Постоянные инаходим из значений потенциала на обкладках:

. (3.19)

Окончательно изменение потенциала между обкладками плоского конденсатора оказывается:

. (3.20)

Напряженность поля в данном случае уже не будет постоянной по промежутку величиной:

. (3.21)

На рис. 10 показано распределение потенциала и напряженности поля при положительном заряде, равномерно распределенном в промежутке между электродами. Видно, что в этом случае напряженность электрического поля уменьшается вблизи положительного электрода и, наоборот, возрастает вблизи отрицательно заряженной обкладки.

3.3.3. Электрическое поле плоского конденсатора с объемным зарядом, сосредоточенным вблизи одного из электродов (,)

Будем считать, что заряд занимает относительно небольшую часть общего объема и распределен равномерно вблизи положительного электрода (на рис. 11 граница данной области отмечена штриховой линией). Для решения задачи необходимо решить задачу, которая заключается в решении уравнения Пуассона для области с зарядом и уравнения Лапласа в области, где заряд отсутствует. На границе двух областей одинаковыми являются значения потенциала и напряженности электрического поля. Это позволяет дополнительное условие позволяет найти все постоянные при аналитическом решении задачи.

На рис. 11а показано распределение потенциала и напряженности поля при положительном заряде, сосредоточенном вблизи положительного электрода. Видно, что в этом случае напряженность поля вблизи положительного электрода может существенно уменьшаться, в то время как в остальной области снижение поля незначительно.

В другом случае отрицательного объемного заряда (рис. 11б), наоборот, вблизи положительного электрода (имеющего заряд, противоположный по знаку объемному заряду) напряженность электрического поля может значительно возрастать.

Отмеченная особенность в распределении электрического поля при наличии объемного заряда позволяет дать физическое объяснение развития электрического разряда в различных диэлектрических средах.