ТВН Простейшие примеры эл. полей(2) Page 9

3. Электрическое поле простейших электродных систем

В данной лекции рассматриваются распределения электрических полей в следующих электродных системах: две концентрические сферы и два соосных круговых цилиндра. Для данных электродных систем предполагается, что диэлектрическая среда между электродами является однородной и отсутствует электрический заряд, распределенный в межэлектродном промежутке. В качестве примеров распределения электрического поля при наличии объемного заряда рассматривается плоский конденсатор. В отличие от предыдущей лекции расчет поля будет проводиться не с использованием интегральных соотношений, а непосредственным интегрированием уравнения Лапласа.

Прежде чем рассматривать конкретные примеры распределения электрического поля отметим, что физические процессы, связанные с развитием электрических разрядов в значительной степени зависят от степени неоднородности поля. Различают однородные, слабонеоднородные и сильнонеоднородные электрические поля. Типичными примерами однородного поля является поле между двумя плоскопараллельными электродами, слабонеоднородное поле реализуется, например, в системе электродов шар-шар или цилиндр-цилиндр при расстоянии между электродами меньше диаметра D (d<D), резконеоднородное поле – при электродах стержень-плоскость, стержень-стержень, а также в электродных системах шар-шар или цилиндр-цилиндр при расстоянии между электродами значительно превосходящем диаметры шаров или цилиндров ().Степень неоднородности электрического поля между электродами характеризуется коэффициентом неоднородности К_Н, который равен отношению максимальной напряженности электрического поля Е_макс к средней напряженности Е_ср между электродами, т. е.

, (3.1)

где средняя напряженность электрического поля есть просто отношение приложенного напряжения к наименьшему расстоянию между электродами

. При отсутствие объемного заряда максимальная напряженность поля реализуется обычно на электроде с меньшим радиусом кривизны. Например, для электродной системы в виде двух параллельных круговых цилиндров, рассмотренных в предыдущем пункте, максимальная напряженность поля будет на поверхности цилиндра меньшего радиуса в точке, ближайшей к противоположному электроду.

Для однородного электрического поля коэффициент неоднородности равен единице . Поле считается слабонеоднородным, если коэффициент неоднородности не превышает значения.

3.1. Разноименно заряженные концентрические сферы (сферический конденсатор)

Электрическое поле в рассматриваемой электродной системе (рис. 7а) может изменяться только в радиальном направлении: эквипотенциальные поверхности, как и электроды – сферические и потенциал зависит только от радиальной координаты в сферической системе координат, вектор напряженности поля ориентирован в радиальном направлении. Для однозначного решения должны быть заданы краевые условия – потенциалы электродов:и(напряжение между электродами). Таким образом, задачу можно сформулировать следующим образом: необходимо найти решение уравнения Лапласа для потенциала, удовлетворяющее заданным краевым условиям:

(3.2)

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка легко находится непосредственным интегрирование по координате :

. (3.3)

Постоянные интегрирования иопределяются из краевых условий, т.е. потенциалов электродов:

. (3.4)

В результате находим распределение потенциала в данной электродной системе:

. (3.5)

Напряженность электрического поля в данном случае сферически симметричного поля определяется просто как

. (3.6)

Распределение напряженности электрического поля между двумя сферическими электродами согласно выражению (3.6) показано на рис. 7б.