Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный авиационный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
DDR 4 p.190-249.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
19.02.2016
Размер:
469.97 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

The constant С is defined from the initial condition: 50 20 100 C , thus С=500.

Consequently, v 20t 2 500 . Finally, the speed of the particle after 2 min from rest is

v = 20 1202 +500 = 288500 10 2885 (m/seс).

T1. Self-test and class assignments

Solve the separable differential equations.

1.

 

xydx (x 1)dy 0 .

2.

xydx (1 y 2 )

1 x 2 dy 0 .

3.

 

y 5 y .

4.

y y 2 1 .

 

5.

 

x 2 ( y 3 5)dx (x3 5) y 2 dy 0 .

6. y 33x 2 y .

 

7.

 

4yy tg x(4 y 4 ) .

8. 1 y 2 dx 1 x 2 dy 0

9

*

.

y

 

3x 4 y .

 

*

 

 

 

 

10 .

y ( y x) 1 .

 

Find the general solution and also the particular solution through the point written opposite it.

11. yxy e y 0 , y(1) 0 .

12.tg ydx x ln xdy 0 , x e .

2

13.cos 2 x sin 2 ydy sin x cos 2 ydx 0 , x(0) 0 . Solve the homogeneous differential equations.

 

 

 

 

 

x2 y 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

y

 

14.

y

 

 

 

0 .

15.

xydy y

dx (x y)

e

x

dx .

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

(x 2 y)dx xdy 0 .

17.

xy

¢- y = x tg

y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

18.

(x y)dx ( y x)dy 0 .

19. (x2 xy)dy y2dx 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

20.

 

 

 

 

 

 

21.

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

xy

x sin x

y .

y

e

x 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Transform the given equations into homogeneous ones and solve them.

203

22.

y

2x y 1

23.

y

x 2 y 3

 

.

 

.

x 2 y 3

2x 4 y 1

24.(x y)dx (2 y x 1)dy 0 .

25.(x y 1)dx (2y 2x 1)dy 0 .

Solve the linear differential equations of the first order.

26.

y y e x .

 

 

 

 

27.

y 2xy 1 2x 2 .

 

 

28.

xy y x2

3x 2 .

 

 

29. tdx (x t sin t)dt 0 .

30.

2y dx

x

2 y3 .

 

 

31.

y ¢+ y cos x =sin x cos x .

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.

y 4 y cos x .

 

 

33.

y ¢+ y tg x = cos2 x .

 

 

34.

y

2

y e x (x 2) .

 

 

35.

y ¢- y ctg x = 2x -x2 ctg x .

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solve the Bernoulli’s differential equations.

 

 

 

 

36.

xy 2 y x 2 y 3 .

37. y ¢ = y4 cos x + y tg x .

 

 

38.

 

 

 

 

 

2x y

39.

 

+x

2

 

¢

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

2y cos2 x .

(1

 

) y

-2xy = 4 (1+x

 

) y arctg x .

 

 

 

 

Solve the exact differential equations.

40.2xydx (x 2 y 2 )dy 0 .

41.(2xy 3y 2 )dx (x 2 6xy 3y 2 )dy 0 .

42.(x sin y)dx (x cos y sin y)dy 0 .

43.(x2 y2 y)dx (2xy x e y )dy 0 .

44.(3x 2 y sin x)dx (x3 cos y)dy 0 .

 

 

2

 

 

x3

 

45.

3x

 

(1 ln y)dx

2 y

 

dy .

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

Compose and solve the differential equations.

46.Radium decomposes at a rate proportional to the amount present. If of 100 mg. set aside now there will be left 98,3 mg. 50 years hence, find how much will be left t centuries from the time when the radium was set aside and also how long a time will elapse before one tenth of the radium has disappeared.

47.Find the equation of all curves which cut the circles x2 + y2 = R2 16 at an angle of 450.

204

48.Find the equation of the curve such that each of its tangent lines together with the coordinate axes encloses a constant area equal to 9.

49.The force exerted by a spring is proportional to the amount the spring is stretched and is 10 kg when the spring is stretched 2 cm. A 10 kg weight is hung on the spring and is drawn down slowly until the spring is stretched 4 cm and then released. Find the equation, the period, the amplitude, and the frequency of the resulting motion.

Answers

 

 

 

 

 

 

1. y C(x 1)e x , x 1 .

 

2. 1 x 2 ln

 

 

y

 

 

 

y 2

 

C .

 

 

 

3.

2

 

 

y x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

ln

x C .

5. ( y 3 5)(x3

5) C . 6.

3 3 2 y 2 33x

C .

7.

arctg y2 =

 

 

 

1 y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

cos x

 

+C .

8.

arcsin x +arcsin y = C . 9*.

y Ce4x

3

x

3

 

.

Hint. Use the

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4y 3x z(x) .

10*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

substitution

y ln

 

x y 1

 

C .

Hint. Use

the

substitution

y x z(x) . 11. x 2 1 2e y ( y 1) . 12. x esin y . 13. tg y y

 

1

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. x2 (x2 2y2 ) C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. (x y) ln Cx xe x .

16. y = (Cx -1)x, x = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= ln(C x2 + y2 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. y x arcsin(Cx) .

18. arctg

19. y Ce x .

20. y = 2xarctgCx .

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

Cx

 

22. x2

xy 3y x y 2 C .

 

 

 

 

 

23. x2

4y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. e x

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

4xy 6x 2y C .

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

x 2

y

2

xy

y C .

25. x 2y 3ln

 

x y 2

 

C .

 

 

 

 

 

26. y Ce

x

 

1

e

x

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27. y Ce x2 x .

28. y

c

 

x 2

 

3x

x

 

2

 

 

 

 

 

3

 

+

2

y3 . 31. y Ce sin x

sin x 1 .

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

y C cos x sin x cos x .

 

34. y Cx 2

37. y-3 = (C -3tg x)cos3 x,

y = 0 .

 

2 .

29. x

c

sin t cos t .

30. x =

 

c

+

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

y

32. y Ce4x

 

1

(sin x 4 cos x) .

33.

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x .

35. y C sin x x 2 . 36.

y3 Cx3

3x 2 .

 

38.

 

 

 

 

y = tg x +

C +ln

 

cos x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

205

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности