Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdfТ.2 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
1. Знайдіть загальний розв’язок рівняння
y′′′ = e2x + sin x.
Розв’язання. Послідовно дістанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y′′′ = |
dy′′ |
= e |
2x |
+sin x , y′′ = ∫(e |
2x |
+ sin x)dx = |
1 |
e |
2x |
− cos x + C1 , |
|
|||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2x |
|
|
|
+ C1x + C2 , |
|
||||||
y′ = ∫ y′′dx = ∫ |
|
|
e |
|
− cos x + C1 |
dx |
= |
|
|
|
e |
|
− sin x |
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
C1 |
|
2 |
|
|
||||
y = ∫ y′dx = ∫ |
|
e |
|
− sin x |
+ C1x + C 2 dx = |
|
|
e |
|
|
+ cos x + |
|
|
x |
|
+ C2 x + C3 |
, |
|||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де C1 , C2 , C3 |
— довільні сталі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. Розв’яжіть рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′(1+ x2 ) = 2xy′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Розв’язання. Дане рівняння не містить явно функцію |
y(x), тому вико- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
наємо підстановку |
|
y′ = z(x) (див. табл. 3.1). Тоді y′′ = z′ |
і рівняння набуде |
|||||||||||||||||||||||||||||
вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′(1 + x2 ) = 2xz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дістали рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Далі маємо
|
dz |
(1+ x2 ) = 2xz , |
dz |
= |
|
2x |
dx , |
|
|||
|
dx |
z |
1 + x2 |
|
|
|
|
||||
ln | z | = ln(1+ x2 ) + ln | C | , z = C (1+ x2 ) , |
|
dy |
= C (1+ x2 ) , |
||||||||
|
|
||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = ∫C1 (1 + x2 )dx = C1 (x + |
x3 |
) + C2 — |
|
3
загальний розв’язок даного рівняння. 3. Розв’яжіть рівняння
( y′)2 + 2 yy′′ = 0.
234
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/