Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta

.pdf

Скачиваний:

1026

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

13. ∫

dx .

14. ∫

dx .

15. ∫

1+ 3 x 2

+ x 2

x(1+ x

)

1/ 4

16. ∫

17. ∫

x (1+ 2 6 x )3 dx .

18. ∫

dx .

x + x 2 − x + 4

3 1+ x3

19. ∫

x 2 dx

20. ∫

21. ∫

(6x − 8 − x2 )3

x 2 + 2x + 5

(2x − 3) 4x − x 2

22. ∫

x 2 dx

23. ∫

24. ∫

x 2 − 2x + 2

(x −1) 6x − x 2 − 5

x2 + x + 1

25. ∫

x 4 dx

26. ∫

27. ∫ (2x 2 − 3x)dx .

x 2 + 4x + 5

x 2 + x − x 2

x 2 − 2x + 5

28. ∫

2x + x

dx .

29. ∫

1+ x 2

dx .

30. ∫

xdx

2 + x

x −

x 2 − 1

Відповіді

x2 + 6 x + 11

+ C .

arc sin

x − 1

+ C .

2 x2 − 12x + 15 +

x + 3 +

+2 2 ln | x − 3 +

x2 − 6x + 15 / 2 | +C .

4. − 6

x − x2 + 4 arcsin(2x + 1) + C .

5. −2 5 + 4t − t2 +

+3 arcsin(

t − 2

)

+ C ,

де

= sin t .

x −

+ 4 ln 1 +

x + C .

x + 1

−

− 1

−

x + 1 7

+ C .

6 6

− 2

x +

− 6 arctg

x + C .

9. −2t − ln

t − 1

+ C, де

t =

x − 3

28 x − 1

+ 1

10. ln | x | +

−

− 10 ln

1 + 10 x

+ C. 11.

(

x − 2)

1− x − arcsin

x + C .

10 x

5 x

3 10

2 5 x2

12 3

2 / 3 1/ 2

12.

(

x + 1)

− 3

(

+ C .

13.

− 3u + C , де

u = (1

+ x

14.

−

)

+ t3 − t + C,

де

t =

1 + x2 .

15.

arctg 4

1 + x3

4 1 + x3

− 1

+ C.

16.

8 − x +

8ln

4 1 + x3

+ 1

x2 − x +

17.

1 − 2x +

− x + 4

+ C.

−

t − 1

+ 8ln

2t + 1

−

t + 1

+ C,

−

u 2

t + 1

де

t =

− x +

4 + 2

18.

+ u + 1

−

arctg

2u + 1

+ C ,

де

u =

1 + x3

− 1)2

19.

x − 3

x2 + 2x + 5 − ln x + 1 +

x2 + 2 x + 5 + C .

20. −

x + 6 +

60 x − 15x2

+ C .

2 x − 3

151

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

21.

x − 2

−

6x − 8 − x2

+ C . 22.

x + 3

x2 − 2x +

2 +

x − 1 +

x2 − 2x + 2

+ C.

2 6x − 8 − x

2(x − 2)

23. Вказівка. Зробітьзаміну

24. −ln

1 1

x2 + x +1

+ C .

25.

= t.

(12x −56x + 95x−10)×

x−1

x2 + 4 x + 5 −

455 ln

x + 2 +

x2 + 4 x + 5

+ C.

26. Вказівка. Зробіть

заміну

= t .

27.

x x2 − 2x + 5 − 5ln

x − 1 +

x2 − 2x + 5

+ C. 28. −2

x + 2

−

x + 2 −

+ C. Вказівка.

2(1 + x2 )

x + 2 +

Виконайте заміну

x =

. 29.

x −

−

x −

+ x2

+ C.

Вказівка. Вико-

x +

2(1 + x2 )

x +

1+ x2

найте заміну x = tg t. 30. Вказівка.

Домножте

чисельник

і знаменник дробу на спря-

жений вираз x +

x2 − 1 .

Т.5 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

5.1. Знайдіть інтеграли від квадратичних ірраціональностей.

5.1.1. ∫

5.1.2. ∫

5.1.3. ∫

x2 − 4x + 1

2 − 3x − 2x2

+ 8x − x2

5.1.4. ∫

5.1.5. ∫

5.1.6. ∫

2 + 8x − 2x2

3 + 2x − x2

2 + 6x + 8

5.1.7. ∫

5.1.8. ∫

5.1.9. ∫

1 + 6x − x2

x2 − 10x + 4

− 2x − x2

5.1.10. ∫

5.1.11. ∫

5.1.12. ∫

2x + 3 − x2

4x2 − 8x + 3

1 + 2x − x2

5.1.13. ∫

5.1.14. ∫

5.1.15. ∫

4x2 − x + 4

2 + 4x − x2

x2 + 2x + 4

5.1.16. ∫

5.1.17. ∫

5.1.18. ∫

3x + 2 − x2

2x2 − 8x + 10

x2 − 5x + 6

5.1.19. ∫

5.1.20. ∫

5.1.21. ∫

16x2

− 8x + 3

x2 − x + 1

2 − x − 2x2

152

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

5.1.22. ∫

. 5.1.23.

∫

5.1.24. ∫

2 + 4x + 3

5 − 6x − 9x2

3x − 2x2

5.1.25. ∫

5.1.26.

∫

5.1.27. ∫

− x − x2

1 − 2x − x2

4 − 3x − x2

5.1.28. ∫

5.1.29.

∫

5.1.30. ∫

3x2

+ 6x + 9

3 − x − x2

+ 4x + 8

5.2. Знайдіть інтеграли від квадратичних ірраціональностей.


5.2.1. ∫	(3x − 1)dx		.

	x2 + 4x + 5
5.2.4. ∫	(7x − 3)dx	.

	6 + 2x − x2
5.2.7. ∫	(x + 3)dx			.

	x2 + 8x + 18
5.2.10. ∫	(5x + 4)dx
	x2 + 8x + 17

5.2.13. ∫	(3x + 2)dx				.

	5 − 4x − x2
5.2.16. ∫	(4 − x)dx						.

	x2 + 2x + 4
5.2.19. ∫	(4x + 3)dx				.

	3 + 2x − x2
5.2.22. ∫	(2 − x)dx
	14 − 4x − x2

5.2.25. ∫	(5 − x)dx					.

	x2 + 4x + 6
5.2.28. ∫	(x + 3)dx
	21− 8x − x2

5.2.2. ∫

(4x + 3)dx

5.2.3. ∫

(5x + 2)dx

7 − 2x − x2

x2 + 6x + 10

5.2.5. ∫

(3 − x)dx

5.2.6. ∫

(2 − 3x)dx

x2 + 2x + 2

x2 − 4x + 6

5.2.8. ∫

(2x − 1)dx

5.2.9. ∫

(4x + 3)dx

x2 + 2x + 3

6 − 4x − x2

5.2.11. ∫

(x + 2)dx

5.2.12. ∫

(3x − 5)dx

4 − 2x − x2

x2 + 4x + 8

5.2.14. ∫

(6x + 1)dx

5.2.15. ∫

(3x + 1)dx

x2 + 2x + 9

8 − 4x − x2

5.2.17. ∫

(7x + 4)dx

5.2.18. ∫

(9x + 1)dx

11− 4x − x2

5 − 2x − x2

5.2.20. ∫

(3x − 7)dx

5.2.21. ∫

(3x − 1)dx

12 + 4x − x2

x2 + 6x + 11

5.2.23. ∫

(x − 4)dx

5.2.24. ∫

(3 − 4x)dx

x2 + 8x + 20

x2 + 4x + 7

5.2.26. ∫

5.2.27. ∫

(− x + 5)dx

1 − 2x − x2

x2 + 2x + 9

5.2.29. ∫

(3x + 2)dx

5.2.30. ∫

(x − 4)dx

x2 + 4x + 10

13 − 6x − x2

153

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

5.3. Знайдітьінтеграли, використовуючитригонометричну замінузмінної.

5.3.1. ∫	1− x2	dx .
	x

5.3.4.∫ 1− x2 dx .

5.3.7. ∫	x2	+ 4	dx .
	x	2

5.3.10.∫ x2 + 4 dx .

5.3.13. ∫	x2 − 9		dx .
		x
5.3.16. ∫		dx		.
	x2
		(x2 − 1)3
5.3.19. ∫		dx	.
	x3
		x2 − 1
5.3.22. ∫ x2		1 − x2 dx .
5.3.25. ∫		dx	.

	(x 2 + 9)3
5.3.28. ∫	x2 dx .
	9 − x2

5.3.2. ∫

x2 − 1

dx .

5.3.3. ∫

4 + x2

dx .

5.3.5. ∫

4 − x2 dx .

5.3.6. ∫

x2 + 9

dx .

5.3.8. ∫

4 − x2

5.3.9. ∫

9 − x2

dx .

5.3.11. ∫

(4 − x2 )3

dx .

5.3.12. ∫

2 + 1)5

5.3.14. ∫ x

9 − x

dx .

5.3.15. ∫

x2 −1

dx .

5.3.17. ∫

5.3.18. ∫

− 9

dx .

x2 − 1

5.3.20. ∫

− 9

dx .

5.3.21. ∫

x2 + 9

5.3.23. ∫

x2 − 4

5.3.24. ∫

16 − x2

dx .

5.3.26. ∫

+ 9

dx .

5.3.27. ∫

2 + 4)3

5.3.29. ∫

16 − x 2

dx .

5.3.30. ∫

16 − x

dx .

5.4. Знайдіть інтеграли від ірраціональних функцій, використовуючи відповідну заміну змінної.

5.4.1. ∫

− x + 1

dx .

5.4.2. ∫

+ 1

− 1

dx .

x + 1) x + 1

(

x + 1

+ 1) x + 1

154

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

5.4.3.∫ 3 (x + 1)2 + 6 x + 1 dx .

x+ 1 + 3 x + 1

5.4.5. ∫ x + 3 x2 + 6 x dx . x(3 x + 1)

x− 1

5.4.7.∫ 3 x − 1 + 6 x − 1 dx .

5.4.9. ∫

6 x − 1

dx .

− 1 +

x − 1

5.4.11. ∫

6 x + 3

dx .

+ 3 +

x + 3

5.4.13. ∫

3x + 1 −1

dx .

+ 1 +

3x + 1

5.4.15. ∫

dx.

3 (2x + 1)2 − 2x + 1

5.4.17. ∫

x + 3

dx .

x + 3 +

x +

5.4.19. ∫

x − 1

dx .

x + 1)

5.4.21. ∫

dx .

5.4.23. ∫

4 x + x

dx .

x + 1

5.4.25. ∫

x + 3

dx .

x +

5.4.27. ∫

dx .

4x −

3 x2

5.4.29. ∫

dx .

1−

5.4.4. ∫

(3 x + 1)(

x + 1)

dx .

6 x5

5.4.6. ∫

2x + 1 + 3 2x + 1

dx .

2x + 1

5.4.8. ∫

x − 1 − 23 x −1

dx .

x −1 +

x −1

5.4.10. ∫

x +

x + 3 x2

dx .

x + 1)

x +

5.4.12. ∫

dx .

x + 1)

5.4.14. ∫

3x + 1 + 2

dx.

3x +

1 +

3x + 1

5.4.16. ∫

x − 3 x

dx .

−

x −

5.4.18. ∫

6 3x + 1 + 1

dx .

3x +

1 −

+ 1

5.4.20. ∫

3 x +

dx .

x +

5.4.22. ∫

dx .

3x + 3 x2

5.4.24. ∫

x − 3 x2

dx .

x + 1)

5.4.26. ∫

dx .

x − 43 x2

5.4.28. ∫

dx .

1−

5.4.30. ∫ x − 3 x2 dx .

155

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Тема 6. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Означення, умови існування, геометричний зміст, властивості. Обчислення визначених інтегралів. Формула Ньютона—Лейб- ніца. Методи інтегрування визначених інтегралів.

Література: [1, розділ 7], [3, розділ 7, § 2], [4, розділ 7, §23], [5, розділ 6], [6, розділ 9, п. 9.1, 9.2], [7, розділ 11, § 1—6] [9, § 35—39].

Т.6 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

6.1. Означення та умови існування

Нехай функція f (x) визначена на відрізку [a, b] . Розіб’ємо цей відрізок на n довільних частин точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b і виберемо на кожному з відрізків [xi−1 , xi ] довільну точку ξi (рис. 2.1). Складемо су-

n
му ∑ f (ξi )	xi , де	xi = xi − xi−1 . Цю суму називають інтегральною су-
i=1
мою функції	f (x)	на відрізку [a, b] . Позначимо через λ довжину найбі-
льшого частинного відрізка xi .
	y			y = f(x)
				y = f(x)
	f(ξ2)


	f(ξ1)
	f(ξ1)
						f(ξn)
						f(ξn)
	О						y
		x0 = a ξ1 х1 ξ2 х2			xn–1 ξn хn = b		y
		x0 = a ξ1 х1 ξ2 х2			xn–1 ξn хn = b
			Рис. 2.1
Визначеним інтегралом функції f (x)					на відрізку [a, b]			називають скі-
нченну границю інтегральної суми при λ → 0 за умови,								що вона не за-

лежить від способу розбиття відрізка [a, b] і вибору точок ξi , і позначають так:

156

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

b		n
∫ f (x)dx =	lim	∑ f (ξi ) xi .
a	max xi →0 i=1

Геометричний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл

∫ f (x)dx , де f (x) — невід’ємна і неперервна функція, чисельно дорів-

нює площі криволінійної трапеції, обмеженої вертикальними прямими x = a і x = b ( a < b ), віссю Ox і графіком функції y = f (x) .

Функцію f (x) називають інтегровною на відрізку [a, b] , якщо існує

визначений інтеграл ∫ f (x)dx .

Визначений інтеграл існує:

1) для кожної функції f (x) , обмеженої на відрізку [a, b] і такої, що має не більше ніж скінченне число точок розриву;

2)для обмеженої і монотонної на відрізку [a, b] функції;

3)для неперервної на відрізку [a, b] функції.

	6.2. Властивості визначеного інтеграла
1. Якщо	f (x)	інтегровна на [a; b]	( a < b ) і	f (x) ≥ 0 , тоді
		b
		∫ f (x)dx ≥ 0 .
		a
2. Якщо	f (x)	інтегровна на [a; b] ( a < b )		і m ≤ f (x) ≤ M , x [a; b] ,
тоді		b
		b
		m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a) .
		a
3. Якщо	f (x)	і g(x) інтегровні на [a; b] ( a < b ) і f (x) ≤ g(x) , тоді
		b	b
		∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx .
		a	a
				157

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

4. Якщо	f (x)	інтегровна на [a; b]			( a < b ), тоді
			b		b
			b		b
			∫ f (x)dx	≤ ∫		f (x)	dx .


			a		a
5. Якщо	f (x)	інтегровна на [a; b] ( a < b ) і m ≤ f (x) ≤ M , x [a; b] ,
тоді існує μ (a; b) таке, що
			b
			∫ f (x)dx = μ(b − a) .
			a
Зокрема, якщо		f (x) неперервна на [a; b] , то існує таке число c [a; b] ,
що виконується рівність
		b
		∫ f (x)dx = f (c)(b − a) ,
		a
число f (c)	називають середнім значенням функції f (x) на відрізку [a; b] .

6. ∫ f (x)dx = 0 .

7.∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx .

b		b	b
8. ∫[f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .
a		a	a
b	b		b	b

9. ∫ λ1 f (x)dx ± ∫ λ 2 g(x)dx = λ1 ∫ f (x)dx ± λ 2 ∫ g(x)dx .

a	a		a	a
10. За будь-якого розміщення точок a, b, c
	b	c	b
	∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,
	a	a	c

якщо f (x) інтегровна на кожному з проміжків.

	a	a
11. а)	∫	f (x)dx = 2∫ f (x)dx, якщо f (x) — парна функція;
	−a	0
	a
б)	∫ f (x)dx = 0 , якщо f (x) — непарна функція.

−a

158

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

12. Якщо f (x)			— інтегровна на [a, b] і x [a, b] , то
		x
а)	Ф(x) = ∫ f (t)dt визначена і неперервна на [a, b] ;
		a
	d			d	x
б)	d	Ф(x) =		d	∫ f (t)dt = f (x) в кожній точці x неперервності фун-
б)	dx	Ф(x) =		dx	∫ f (t)dt = f (x) в кожній точці x неперервності фун-
	dx			dx	a
					a

кції f (x) .

6.3.Обчислення визначених інтегралів

6.3.1.Формула Ньютона—Лейбніца

Правило обчислення визначеного інтеграла встановлює теорема Нью-

тона—Лейбніца.

Нехай F(x) — деяка з первісних функцій для f (x) на [a, b] , тоді

∫ f (x)dx = F(b) − F(a) .

Цей факт записують так:

b	b
b
∫ f (x)dx = F(x)		= F(b) − F(a).
a	a
a

Останню формулу називають формулою Ньютона—Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, використо-

вують методи безпосереднього інтегрування, заміни змінної та інтегрування частинами.

6.3.2. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Якщо функція x = ϕ(t) задовольняє умови:

1) однозначна та неперервна на проміжку [α; β] і має на цьому проміжку неперервну похідну ϕ′(t) ;

2) значення функції x = ϕ(t) при зміні t на відрізку [α; β] не виходять за межі відрізка [a; b] ;

159

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3) ϕ(α) = a , ϕ(β) = b , тоді для будь-якої неперервної на відрізку [a; b] функції f (x) справджується формула заміни змінної у визначеному інтегралі

b		β
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .
a		α
				. В
Часто замість заміни	x = ϕ(t)	застосовують підстановку	t = ψ(x)

цьому випадку межі α та β визначаються безпосередньо за формулами

α = ψ(a) , β = ψ(b) .

6.3.3. Формула інтегрування частинами

Якщо u та v — функції від x , що мають неперервні похідні, тоді

b				b	b
b					b
∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)					−∫ v(x)u′(x)dx ,
a				a	a
a					a
або
	b	b		b
	b	b		b
	∫udv = uv	a	−∫vdu.
	a	a		a

Т.6 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи безпосереднє інтегрування.

1.∫ 3 1− xdx = − ∫ 3 1− xd(1−

e	ln x	− 1	e	ln x		e
2. ∫			dx = ∫		dx −	∫
	x
1		1		x		1

x) = −			3 3	(1− x)4 1	= −			3		(0 − 1) =					3	.
x) = −			3 3	(1− x)4 1	= −		4			(0 − 1) =					4	.
			4	0			4								4
dx		e		e		dx				ln	2	x	e				e
		e		e							2
	=	∫ ln xd ln x − ∫					=							− ln x				=
	=	∫ ln xd ln x − ∫					=						1	− ln x				=
x		1		1		x			2				1				1
x						x			2								1

− 0 − (1

− 0) = −

1+ tg2 x

3. ∫

dx = ∫

= ∫

d(1+ tg x) =

(1+ tg x)

cos

(1+ tg x)

160

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019289 Кб2Vidrodzhennya_v_nimechchini.doc
#
10.11.2019883 Кб51Vikova_psikhol_Konsp_Alp.doc
#
19.02.2016909 Кб59Vischa_geodeziya.docx
#
19.02.20168 Мб337Vischa_matematika_Chastina_1_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162 Мб229Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20165 Мб1026Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20168 Мб546Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162 Мб91Vitorskaya_N_Prichiny_Bolezn_Istoki_Zdorov_Pra.doc
#
01.03.2025848 Кб1Vizio.docx
#
26.08.201978 Кб0voprosy_1-10.docx
#
01.05.2025555 Кб1VOPROSY_k_modulnoy_KR.docx