Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta

.pdf

Скачиваний:

1026

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

За означенням

∞

∫

= ∫

+∫

= lim

∫

+ lim

∫

−∞ t

A→−∞

A t

B→∞ a

де a — будь-яка точка з проміжку інтегрування. Обчислимо кожну з границь, що стоять у правій частині:

a dt lim ∫

A→−∞ A t2 +1

= lim

arctg t

a = arctg a −

lim arctg A = arctg a +

;

A→−∞

lim ∫

= lim

arctg t

−arctg a .

B→∞ a

B→∞

Отже,

∞

∫

= π, тобто ∫

= π .

−∞ t

−∞ x

− 6x + 10

∞

5. ∫

ln x

dx .

∞ ln x

ln2 x

Розв’язання. ∫

dx = lim

∫ ln xd(ln x) = lim

= ∞ .

A→∞

Інтеграл розбіжний.

Дослідіть інтеграли на збіжність.

∞dx

6.∫1 x − sin2 x .

Розв’язання. Напроміжкуінтегруваннясправедливанерівність x − sin2 x ≤ x,

∞

тому

≥

. І оскільки

∫

— розбіжний ( p = 1 ), то і заданий ін-

x − sin

1 x

теграл розбіжний (див. теорему 1).

∞

cos x

∫

dx .

Розв’язання. Підінтегральна функція

cos x

— знакозмінна при x ≥ 1.

171

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

cos x

∞

Оскільки

cos x

≤ 1, то

≤

. Інтеграл ∫

збігається ( p = 3 > 1 ),

∞

cos x

тому інтеграл ∫

dx також збігається.

∞

8. ∫[ln(1+ x 2 ) − 2 ln x]dx .

Розв’язання. Запишемо інтеграл у вигляді

∞

1+ x

∞

∫ ln

dx =

∫ ln(1+

)dx .

∞

Оскільки ∫ dx збігається

1 x 2

ний інтеграл також збігається.

2			dx
9. ∫				.
	x	2	+ 2x − 3
1

	ln(1+		1	)
( p = 2 > 1) і k = lim	ln(1+		x 2	)	= 1 , то зада-
			x 2
		1
x→∞		1
		x 2

Розв’язання. Маємо невласний інтеграл від необмеженої функції, тут x = 1 — особлива точка. Тому

d(x + 1)

∫

= lim

∫

lim

∫

+ 2x − 3

(x + 1)

−

ε→0

1+ε x

+ 2x − 3

ε→0

1+ε

= lim

x − 1

lim(ln

−ln

) =

∞ .

x + 3

+ε

ε→0

1+ε

ε→0

Інтеграл розбіжний.

10. Дослідіть на збіжність інтеграл ∫

залежно від λ .

Розв’язання. Інтеграл має особливість у точці x = 0 . Нехай λ ≠ 1 . Тоді

1 dx

x1−λ

ε1−λ

∫

= lim

∫

= lim

−

ε→0

− λ

ε→0

− λ

1− λ

ε1−λ

, якщо λ < 1,

− lim

1− λ

ε→0

∞,

якщо

λ > 1.

172

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Для λ = 1 маємо

1	dx		1	dx			1

∫		= lim	∫		= lim ln	x		= +∞ .

	x			x
0		ε→0	ε		ε→0		ε

Висновок. Невласний

інтеграл другого роду

∫

збігається

для

λ < 1 і розбігається для λ ≥ 1 .

Зауваження. Невласні інтеграли другого роду

∫

(x − a)

(b − x)

де a < b , збіжні при λ < 1 і розбіжні при λ ≥ 1 .

Справді, поклавши

x −a

= t

чи

b−x

= t , в обох випадках прийдемо

b−a

b −a

до невласного інтеграла (b − a)∫

e x

11. ∫

dx .

1− cos x

Розв’язання. При x → 0 підінтегральна функція є необмеженою. Вра-

ховуючи еквівалентність

1− cos x =

2 sin x

при

x → 0 , порівня-

ємо підінтегральну функцію з функцією g(x) =

e x

k = lim

1− cos x

lim

xe x

= lim

xe x

= lim

2e x = 2 .

x→0

1− cos x

x→0

Оскільки ∫ dx є розбіжним, то й вихідний інтеграл також розбіжний.

0 x

Т.7 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Обчисліть невласні інтеграли або доведіть їх розбіжність.

∞	dx		∞	dx .	∞
1. ∫		.	2. ∫		3. ∫ e−3x dx .
	6
1	x		1	5 x 2	0

173

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

		∞				xdx												∞					dx												∞				dx
4.		∫				xdx				.						5.		∫					dx						.				6.		∫				dx				.
4.		∫				2				.						5.		∫		x	2								.				6.		∫	(1+ x)x						2	.
		−∞		1+ x													−∞			x		− 2x + 10													1	(1+ x)x
		−∞															−∞																		1
		∞															∞																		∞		arctg				x
7.		∫ xe− x2 dx .														8.	∫ x sin xdx .																9.		∫		arctg				x	dx .
7.		∫ xe− x2 dx .														8.	∫ x sin xdx .																9.		∫		2					dx .
	0																0																		1				x
	1					dx .											2						dx												2			xdx .
10. ∫																11. ∫							dx					.						12. ∫
10. ∫																11. ∫				x	2	− 4x + 3						.						12. ∫
	0					1− x 2											0			x		− 4x + 3													1				x −		1
																			1
	2					dx													e		dx														1
13. ∫										.						14. ∫									.									15. ∫ x ln xdx .
13. ∫					x ln x					.						14. ∫							2		.									15. ∫ x ln xdx .
	1				x ln x												0			x ln				x											0
Дослідіть збіжність інтегралів.
			∞			xdx								∞	x3 + 1										∞		ln(1+ x 2 )dx												∞			dx
16. ∫						xdx			.			17.		∫	x3 + 1		dx .						18. ∫				ln(1+ x 2 )dx							.	19.				∫			dx				.
16. ∫						3			.			17.		∫	4		dx .						18. ∫											.	19.				∫							.
	0				1+ x									1		x								1								x							e2 x ln ln x
	1					xdx								1		dx								1			dx											1				dx
20. ∫											.	21.		∫				.					22. ∫								.				23. ∫											.
20. ∫						1− x 4					.	21.		∫	e			.					22. ∫				sin x				.				23. ∫						x +			3	x	.
	0					1− x 4								0	e	x − 1								0			sin x											0			x +				x
																	Відповіді
1.		1	.		2. Розбігається.									3.	1	. 4. Розбігається.										5.				π		. 6.	1 − ln 2 . 7.						1	.	8. Розбіга-
1.	5		.		2. Розбігається.									3.	3	. 4. Розбігається.										5.		3				. 6.	1 − ln 2 . 7.					2		.	8. Розбіга-
	5														3													3										2
ється.	9.			π		+	1	ln 2 .				10.	π	. 11. Розбігається. 12.													8	. 13. Розбігається.										14. 1. 15.							−	1	.
ється.	9.			4		+		ln 2 .				10.		. 11. Розбігається. 12.												3		. 13. Розбігається.										14. 1. 15.							−	4	.
				4		2						2														3																				4

16. Збігається. 17. Розбігається. 18. Розбігається. 19. Розбігається. 20. Збігається. 21. Збігається. 22. Розбігається. 23. Збігається.

Т.7 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

7.1. Обчислітьневласніінтеграли першого родуабо доведітьїхрозбіжність.

∞

xdx

∞

16xdx

∞

x3dx

7.1.1. ∫

7.1.2. ∫

7.1.3. ∫

16x

+ 1

16x

−

16x4 + 1

∞

xdx

∞

x2 dx

7.1.4. ∫

7.1.5. ∫

7.1.6. ∫

16x4 − 1

(x 2 + 4)3

3 (x3 + 8)4

−∞

174

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

∞

xdx

∞

xdx

∞

7.1.7. ∫

7.1.8. ∫

7.1.9. ∫

+ 4x + 5

0 4 (x

2 + 16)5

x2 − 4x + 1

−1 x

∞

xdx

∞

∞ arctg 2xdx

7.1.11. ∫

7.1.10.

7.1.12. ∫

−∫1 x2

+ 4x + 5

1/ 2

4x + 5

+ 1

∞

xdx

∞

(x + 2)dx

∞

3 − x2

7.1.13. ∫

. 7.1.14. ∫

7.1.15. ∫

dx .

+ 4x

+ 5

+ 4

3 (x2 + 4x + 1)4

∞

4dx

∞

arctg 4x

∞

7.1.16. ∫

7.1.17. ∫

dx .

7.1.18. ∫ x sin xdx .

16x

x(1 + ln

−1

7dx

∞

πdx

∞

7.1.19. ∫

7.1.20. ∫

. 7.1.21. ∫

−∞ x

−4x

1/ 3

(9x

+ 1)arctg 3x

(x + 1)

∞

−3x

7.1.22. ∫

. 7.1.24. ∫ xe dx .

−

dx . 7.1.23. ∫

−∞ x

− 1 1

+ x

(6x

− 5x + 1)

∞

7.1.25. ∫

7.1.26. ∫

7.1.27. ∫

− 2x + 1

− 3x +

+2x

∞

7.1.28.

. 7.1.29.

. 7.1.30. ∫

e∫2 x(ln x − 1)2

∫1 9x2 − 9x + 2

2 (x2 + 4)

arctg

7.2. Обчислітьневласніінтегралидругогородуабо доведітьїхрозбіжність.

1/ 3 e3 + 1/ x

7.2.1.

∫

dx .

7.2.2. ∫

7.2.3. ∫

x 2 − 6x + 9

2 −

ln(3x −1)

7.2.4.

∫

7.2.5. ∫

dx .

7.2.6. ∫

1/ 4

20x

− 9x + 1

1/ 3 3x −1

3 (3 − x)5

ln 2

2 / 3

3 ln(2 −

3x)

xdx

7.2.7. ∫

dx . 7.2.8. ∫

dx .

7.2.9. ∫

2 − 3x

1/ 2 (1− x) ln

(1− x)

0 1 − x

π / 6

cos 3xdx

2xdx .

dx .

7.2.10. ∫

. 7.2.11. ∫

7.2.12.

∫

6 (1− sin 3x)5

1 − x4

−1/ 3

1 + 3x

175

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1−

arcsin x

π / 2

e tg x

dx .

7.2.13. ∫

dx .

7.2.14. ∫

dx .

7.2.15.

∫

1− x

cos 2x

3 / 4

3 −

sin xdx .

dx .

7.2.16. ∫

7.2.17. ∫

7.2.18.

∫

5 4x − x2 − 4

π / 2

7 cos2 x

−3 / 4

4x + 3

xdx

1/ 3

9xdx .

7.2.19. ∫

7.2.20. ∫

7.2.21. ∫

(x2

− 1)3

− 9x +

0 3 9 − x2

π / 2

3sin 3 xdx .

x4 dx .

x2 dx .

7.2.22.

∫

7.2.23. ∫

7.2.24. ∫

cos x

3 1 − x5

64 − x6

1/ 4

7.2.25. ∫

7.2.26. ∫

7.2.27. ∫

1 −

31(x3

1 − 4x

1/ 2

− 1)

2xdx

3 / 2

1/ 2

7.2.28. ∫

7.2.29.

∫

. 7.2.30. ∫

(16 − x2 )3

3x − x2 − 2

(2x − 1)

Тема 8. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Обчислення площ плоских фігур. Площа у прямокутних декартових координатах. Обчислення площі при параметричному заданні контура. Площа криволінійного сектора у полярних координатах.

Довжина дуги кривої. Об’єм тіла із заданим поперечним перерізом. Об’єм тіла обертання. Робота змінної сили. Координати центрів мас плоских областей та дуг кривих.

Література: [1, розділ 9], [2, розділ 2, п. 2.2], [4, розділ 7, § 24], [6, розділ 10], [7, розділ 12], [9, § 41].

Т.8 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

8.1.Обчислення площ плоских фігур

8.1.1.Площа у прямокутних декартових координатах

Нехай плоска фігура обмежена кривою y = f (x) , де f (x) ≥ 0 — неперервна на відрізку [a; b] функція, вертикальними прямими x = a , x = b та

176

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

y = 0 — віссю абсцис (рис. 2.5). Тоді площу криволінійної трапеції обчислюють за формулою

Якщо функція f (x) (рис. 2.6), тоді

y = f(x)

O a

S = ∫ f (x)dx.

скінченне число разів змінює знак на відрізку [a; b]

S = ∫ f (x)dx .

y = f(x)

O a

b x

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Площу плоскої фігури, обмеженої прямими			x = a , x = b і кривими
y = f1 (x) , y = f 2 (x) , де f1 (x) ≤ f 2 (x) , x [a; b]			(рис. 2.7), обчислюють за
формулою
	b	[ f2 (x) − f1(x)]dx.
	S = ∫	[ f2 (x) − f1(x)]dx.
	a

Інколи прямі

x = a ,

x = b

можуть вироджуватись у точку перетину

кривих

y = f1 (x)

та

y = f 2 (x) (рис. 2.8). У цьому випадку величини a і b

знаходять як абсциси точок перетину вказаних кривих.

y = f2(x)

y = f1(x)

Рис. 2.7

Рис. 2.8

177

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

В окремих випадках інтегрування зручніше проводити за змінною y. Так, якщо фігура обмежена прямими y = c , y = d та кривими x = g1 ( y) ,

x = g2 ( y) , де g1 ( y) ≤ g2 ( y) , y [c; d] (див. рис. 2.9 і 2.10), то її площу обчислюють за формулою

				S = d∫[g2 ( y) − g1 ( y)]dy.
				c
y					y
d					d			x = g2(x)
								x = g2(x)

			S	x = g2(x)	x = g1(x)		S
			S				S
	x = g1(x)
	x = g1(x)				с
с					с
O				x	O			x
		Рис. 2.9				Рис. 2.10
8.1.2. Обчислення площі при параметричному заданні контура
Нехай крива y = f (x)				задана	параметричними	рівняннями x = x(t) ,

y = y(t) ≥ 0 , t [α; β] , тоді площу криволінійної трапеції, обмеженої цією

кривою, прямими x = a , x = b ( a < b ) та віссю абсцис (див. рис. 2.5), обчислюють за формулою

		β	β
		S = ∫ y(t)dx(t) = ∫ y(t)x′(t)dt,
		α	α
де межі α та β задовольняють рівняння x(α) = a ,							y(β) = b .
8.1.3. Площа криволінійного сектора у полярних координатах
	ρ = ρ(ϕ)		Площу криволінійного сектора, обмеженого не-
		перервною кривою ρ= ρ(ϕ) та променями ϕ1 = α ,
		ϕ 2	= β (рис. 2.11), обчислюють за формулою
α	β
	β				1	β
						β
О				S =		∫ρ2	(ϕ) dϕ.
О				S =		∫ρ2	(ϕ) dϕ.
Рис. 2.11				2		α
178

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

8.2. Довжина дуги кривої

Якщо плоска крива задана рівнянням y = f (x) , x [a; b] і похідна f ′(x) неперервна, то довжина дуги цієї кривої виражається інтегралом

l = ∫ 1+ ( f ′(x))2 dx.

Якщо крива задана параметричними рівняннями x = x(t) , y = y(t) і по-

хідні	x′(t) , y′(t) неперервні на проміжку [t1 ; t2 ] , то довжину дуги кривої
обчислюють за формулою

		t2
		l = ∫	(x′(t))2 + ( y′(t))2 dt,
		t1
де t1 ,	t2 — значення параметра t, що відповідають кінцям дуги ( t1 < t2 ).
Нарешті, якщо крива задана у полярних координатах рівнянням ρ = ρ(ϕ),
то довжину дуги кривої визначають за формулою

		ϕ 2
		l = ∫		ρ2 (ϕ) + (ρ′(ϕ))2 dϕ,
		ϕ1
де ϕ1 ,	ϕ 2 — значення полярного кута ϕ в кінцях дуги (ϕ1 < ϕ2 ) .

8.3. Об’єми тіл

Нехай S(x) — площа поперечного перерізу тіла кулярною до осі Ox у точці з абсцисою x , x [a, b] перервна функція на відрізку [a, b] (рис. 2.12). Тоді ється інтегралом

площиною, перпенди- , причому S(x) — необ’єм тіла V виража-

V = ∫ S(x)dx.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної трапеції (рис. 2.13), обмеженої кривою y = f (x) ( f (x) ≥ 0 ), віссю абсцис та прямими x = a та x = b (a < b), визначається за формулою

179

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

V = π∫ f 2 (x)dx.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної тра-

пеції, обмеженої кривими

y = f1 (x) , y = f 2 (x)

( 0 ≤ f1 (x) ≤ f 2 (x) ) та пря-

мими x = a , x = b (a < b),

обчислюють за формулою

V = π∫ f22 (x) − f12 (x) dx.

y = f(x)

S(x)

О а

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Якщо крива задана параметрично чи у полярних координатах, то потрібно зробити відповідну заміну змінних у вказаних формулах.

8.4. Площа поверхні обертання

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ox дуги кривої y = f (x) ( a ≤ x ≤ b ), визначається за формулою

P = 2π∫ f (x) 1+ ( f ′(x))2 dx.

Якщо крива, що утворює поверхню обертання, задана параметрично x = x(t) , y = y(t) ( α ≤ t ≤ β ), тоді

P = 2π∫ y(t) (x′(t))2 + ( y′(t))2 dt.

180

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019289 Кб2Vidrodzhennya_v_nimechchini.doc
#
10.11.2019883 Кб51Vikova_psikhol_Konsp_Alp.doc
#
19.02.2016909 Кб59Vischa_geodeziya.docx
#
19.02.20168 Мб337Vischa_matematika_Chastina_1_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162 Мб229Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20165 Мб1026Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20168 Мб546Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162 Мб91Vitorskaya_N_Prichiny_Bolezn_Istoki_Zdorov_Pra.doc
#
01.03.2025848 Кб1Vizio.docx
#
26.08.201978 Кб0voprosy_1-10.docx
#
01.05.2025555 Кб1VOPROSY_k_modulnoy_KR.docx