Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdf3.4.4.u = xy + yz + zx ,
3.4.5.u = x + y + xyz ,
3.4.6.u = xy 2 z 2 ,
3.4.7.u = x 2 + 5y 2 ,
3.4.8.u = x2 yz 2 ,
3.4.9.u = y − ln(2 + x 2 ) ,
3.4.10.u = 18 + 3x − 4 y ,
3.4.11.u = xyz ,
3.4.12.u = 2x2 + y2 + z2 ,
3.4.13.u = x − 2 y + 2z ,
3.4.14.u = x + y ,
3.4.15.u = xy 2 z3 ,
3.4.16.u = x2 yz3 ,
3.4.17.u = 1x + 1y ,
3.4.18.u = 2x2 + y 2 ,
3.4.19.u = 2x + 1y ,
3.4.20.u = xy ,
3.4.21.u = x2 y 2 z ,
3.4.22.u = 2x + y + 3xyz ,
3.4.23.u = x + y + z ,
3.4.24.u = x3 − 8y3 + 8z 3 ,
3.4.25.u = 2x2 + 5y2 + z2 + 2x ,
3.4.26.u = 2x + 3y ,
3.4.27.u = x + y ,
3.4.28.u = x − 6 y + 2z ,
якщо x + y + z − 1 = 0 . якщо x + y + z − 1 = 0 .
якщо x + 2 y − 2z − 5 = 0 .
якщо 4x − 20y − 3 = 0 .
якщо 2x + y + 2z − 5 = 0 . якщо x2 + y 2 − 1 = 0 . якщо x2 + y2 − 25 = 0 . якщо x2 + y 2 − z − 1 = 0 .
якщо x2 + z2 − xy + 6x + 9 y = 0 .
якщо x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 .
якщо 9x2 + 16 y2 = 144 .
якщо x + 2 y + 3z − 6 = 0 . якщо 2x − y + 3z − 6 = 0 .
якщо |
1 |
+ |
1 |
|
= 1 . |
|||||
x2 |
y2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
якщо |
2 |
+ |
1 |
+ 3 = 0 . |
||||||
|
|
|||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|||
якщо |
4 |
+ |
1 |
|
= |
1 |
. |
|||
x2 |
y2 |
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
||||||
якщо x2 + y2 |
= 8 . |
|
якщо x + 2 y + 2z = 0 . якщо 2x + y + 3z − 1 = 0 . якщо x2 + y2 + z2 − 3 = 0 . якщо x − 2y + 2z = 0 . якщо x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 .
якщо |
4 |
+ |
9 |
= 1 . |
|
x2 |
y2 |
||||
|
|
|
|||
якщо 9x2 + y2 |
= 9 . |
якщо x + 9 y 2 − 4z 2 − 1 = 0 .
61
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.4.29. u = 3 − 4x − 2 y , |
|
якщо |
2x2 + y 2 − 12 = 0 . |
||||||
3.4.30. |
u = |
4 y 2 |
+ 3x2 + 8 |
, |
якщо |
x − y |
2 |
− 1 |
= 0 . |
x2 |
+ y 2 + 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Знайдіть найбільше та найменше значення функції z(x, y) у замкненій області D :
3.5.1. |
z = 3x2 + y2 − 2xy − 4x, |
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
−1 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ x + 1} . |
|||||||
|
D |
|
|||||||||||||
3.5.2. |
z = x3 |
− 12xy + y3 , |
|
= {(x, y) |
|
0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2} . |
|||||||||
D |
|
||||||||||||||
3.5.3. |
z = x2 |
− 2xy − y2 + 4x , |
|
|
= {(x, y) |
|
|
|
y ≥ 0, x ≥ −3, x + y ≤ −1} . |
||||||
D |
|
|
3.5.4.z = xy(3 − x − y) , D = {(x, y) x ≥ 0, y ≥ −2, x + y ≤ 6} .
3.5.5.z = x3 + 3y 2 , D = {(x, y) x2 + y 2 ≤ 4} .
3.5.6. |
z = x2 |
− y2 + 3xy − 5x − y, |
|
= {(x, y) |
|
x ≤ 3, y ≤ 2, 2x + y ≥ 0} . |
||||
D |
|
|||||||||
3.5.7. |
z = x 2 |
+ 2xy − y 2 − 4x , |
|
={(x, y) |
|
x ≤3, y ≥0, y ≤ x +1} . |
||||
D |
|
3.5.8.z = (x − y)2 + y 2 + 2x , D = {(x, y) x ≤ 0, y ≤ 0, x + y + 4 ≥ 0} .
3.5.9.z = 2x3 + 3y 2 , D = {(x, y) 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} .
3.5.10. |
z = x2 − 3y2 + 2xy − 4x + 4 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
x ≤ 2, y ≤ x + 1, y ≥ 0} . |
||||||||||||||||||||
D |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.11. |
z = 2x2 − y2 − 3xy − x + 5y, |
|
|
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
|
x ≥ 0, |
y ≥ 0, x + 2 y ≤ 4}. |
||||||||||||||||||||||
D |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.12. |
z = x3 + y3 − 3xy 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
|
|
x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 10} . |
|||||||||||||||||||||
|
D |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.13. |
z = x2 + 3xy + 2y 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
|
|
|
|
y ≤ 2, |
x ≥ 0, |
y ≥ x − 2} . |
|||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.5.14. |
z = x2 + 2 y2 − 3x − 5y + xy, |
|
|
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
|
|
x ≤ 2, |
y ≤ 2, x + y ≥ 0}. |
|||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.15. |
z = x3 + 2y 2 − x , |
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
x2 + y 2 ≤ 16} . |
|
|||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.16. |
z = x2 − 2y2 + 4xy − 6x , D |
= {(x, y) |
|
y ≥ 0, x ≥ 0, x + y ≤ 3} . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.17. |
z = 3x2 + y3 + 4 , |
|
= {(x, y) |
|
1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9} . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.18. |
z = x4 − 2x2 y 2 + y3 , |
|
|
= {(x, y) |
|
y ≥ x2 , y ≤ 4} . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
D |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.19. |
z = x3 + 3x2 y + y3 , |
|
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
− 3 ≤ x ≤ 3, − 5 ≤ y ≤ 5} . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.5.20. |
z = 2x 2 − 5xy + y 2 , |
|
|
= {(x, y) |
|
|
|
|
y ≥ −3, |
|
x ≥ 0, |
x + y ≤ 1} . |
||||||||||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
62
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.5.21. z = 2x2 + y2 + 2xy − 6x − 4 y, D = {(x, y) x ≥ −1, y ≥ 0, x + y ≤ 3} .
3.5.22.z = 6xy − 9x 2 − 9 y 2 + 4x + 4 y , D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2} .
3.5.23.z = 4x − 2y + x − y + 1, D = {(x, y) 12 ≤ x ≤ 3, 13 ≤ y ≤ 2} .
3.5.24. |
z = 4x − 4 y − x2 − y 2 , |
|
= {(x, y) |
|
x + y ≤ 2, y ≥ 0, |
x ≥ 0} . |
||||||||||||||
D |
|
|||||||||||||||||||
3.5.25. |
z = x2 |
+ xy − 2 , |
|
= {(x, y) |
|
y ≥ 4x 2 − 4, y ≤ 0} . |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
D |
|
|||||||||||||||||||
3.5.26. |
z = 3x2 + 3y 2 − 2x − 2 y , |
|
|
|
|
= {(x, y) |
|
|
x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} . |
|||||||||||
|
D |
|
||||||||||||||||||
3.5.27. |
z = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
y ≥ x2 − 2} . |
|
||||||||||
+ 2xy − 10 , |
|
= {(x, y) |
y ≤ 2, |
|
|
|||||||||||||||
D |
|
|
||||||||||||||||||
3.5.28. |
z = x 2 |
+ 4xy − 2 y 2 − 6x , |
|
|
= {(x, y) |
|
|
x ≤ 0, y ≥ 0, |
y ≤ x + 3} . |
|||||||||||
|
D |
|
|
3.5.29.z = 5x 2 − 3xy + y 2 , D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .
3.5.30.z = x2 + 2xy − 1, D = {(x, y) y ≤ 0, y ≥ x2 − 4} .
Тема 4. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА
Поняття комплексного числа. Дії над комплексними числами в алебраїчній формі. Геометричне зображення комплексних чисел. Модуль і аргумент комплексного числа. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами у тригонометричній формі.
Література: [2, розділ 1, стор. 18—25], [3, розділ 7, §1], [4, §3], [5, розділ 3, §6], [6, розділ 7, розділ 7, §1—§8], [8, 1 част.,
розділ 6].
Т.4 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
4.1. Поняття комплексного числа
Вираз
z = a +bi,
де а і b — дійсні числа, i = −1 — уявна одиниця ( i2 = −1), називають комплексним числом. Таку форму запису комплексного числа називають
63
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
алгебраїчною, число а — дійсною частиною комплексного числа z, а b — уявною частиною z і позначають
a = Re z, b = Im z.
Позначення дійсної й уявної частин комплексного числа z походить від
французьких слів: reel |
— дійсний, imaginaire — уявний. |
|
Два комплексні числа z = a +bi |
і z = a −bi називають спряженими. |
|
Комплексні числа |
z1 = a1 +b1i |
та z 2 = a2 +b2i рівні між собою |
( z1 = z2 ) тоді і тільки тоді, коли рівні їхні дійсні та уявні частини, тобто
a1 = a2 і b1 = b2 .
Комплексне число z = a +bi дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли
a = b = 0 .
Поняття «більше—менше» для комплексних чисел не існує.
4.2. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі
Дії над комплексними числами z1 = a1 +b1i та z 2 = a2 +b2i викону-
ють за такими правилами: 1) додавання:
z1 + z2 = a1 + a2 +(b1 +b2 )i ;
2) |
віднімання: |
|
z1 −z2 = a1 −a2 + (b1 −b2 )i ; |
|
|||||||
3) |
множення: |
|
|
||||||||
z1 z2 = a1a2 −b1b2 +(a1b2 + a2b1 )i ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
4) |
ділення ( z2 ≠ 0 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z1 |
= |
z1 z2 |
= |
a1a2 +b1b2 |
+ |
a2b1 −a1b2 |
i . |
||
|
|
z2 |
|
z2 z2 |
|
a2 |
+b2 |
|
a2 |
+b2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
4.3. Геометричне зображення комплексних чисел. Модуль і аргумент комплексного числа
Між множиною С усіх комплексних чисел і всіма точками площини існує взаємно однозначна відповідність, іншими словами, кожному комплексному числу z = a +bi ставиться у відповідність точка площини (a, b) , і
навпаки, кожній точці з координатими (a, b) ставиться у відповідність комплексне число z = a +bi . На рисунку 1.14 комплексне число z = a +bi зображається точкою M (a, b) . Таку площину умовно називають комплекс-
64
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
ною площиною змінної z, вісь Ox — дійсною, а вісь Oy — уявною віссю. Комплексне число z = a +bi можна також зображувати вектором, початок якого міститься у точці О (0; 0), а кінець — у точці M (a, b) .
Якщо b = 0 , тоді комплексне число z = a + +0 i = a стає дійсним числом. Отже, дійсні числа є окремим випадком комплексних чисел, їх позначають точками осі Ox .
Якщо a = 0 , то комплексні числа z = 0 + +bi = bi називають суто уявними; такі числа
зображають точками осі Oy .
JJJG
Довжину ρ вектора OM називають моду-
y
b
О
М |
ρ
φ
а x
Рис. 1.14
лем комплексного числа і позначають | z | . З рис. 1.14 зрозуміло, що |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кут ϕ |
|
|
|
z |
|
= a2 +b2 . |
JJJG |
(1.15) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
між додатним напрямом осі Ox і вектором OM , який відпові- |
дає комплексному числу z = a +bi , називають аргументом комплексного
числа z (z ≠ 0) і позначають ϕ = arg z.
Кожне ненульове комплексне число має безліч аргументів. Усі вони задаються формулою
Arg z= arg z + 2πn , n ],
де Arg z — загальне значення аргументу;
arg z — головне значення аргументу, яке задовольняє умову
−π< arg z ≤π.
Головне значення аргументу комплексного числа z = a +bi значити за таким правилом:
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
, |
якщо a > 0, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
+π, якщо a < 0, b ≥0, |
||
arctg |
|
|||
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
arg z = arctg |
|
−π, якщо a < 0, b < 0, |
||
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
, |
якщо a = 0, b > 0, |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
, |
якщо a = 0, b < 0. |
|
2 |
|||
|
|
|
|
можна ви-
(1.16)
65
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Відшукання аргументу комплексного числа рекомендуємо розпочинати
згеометричного зображення цього числа.
4.4.Тригонометрична форма комплексного числа
Зрисунка 1.14 видно, що a = ρcos ϕ , b = ρsin ϕ. Тоді комплексне число z = a +bi можна подати у вигляді
z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ). |
(1.17) |
Праву частину формули (1.17) називають тригонометричною формою комплексного числа z.
4.5.Дії над комплексними числами
утригонометричній формі
Нехай z1 = ρ1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) , z2 = ρ2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) .
Знайдемо добуток
z1 z2 = ρ1ρ2 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) =
=ρ1ρ2 (cos ϕ1 cos ϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2 +i(sin ϕ1 cos ϕ2 +sin ϕ2 cos ϕ1 ) =
=ρ1ρ2 [cos(ϕ1 +ϕ2 ) +i(sin(ϕ1 +ϕ2 )] .
Висновок. Під час множення комплексних чисел їхні модулі перемножують, а аргументи додають.
Піднесення комплексного числа, заданого у тригонометричній формі, до n-го степеня, де n N, виконують за формулою Муавра:
zn = ρn (cos nϕ+i sin nϕ). |
(1.18) |
Ділення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі:
z1 = ρρ1 (cos(ϕ1 −ϕ2 ) +i sin(ϕ1 −ϕ2 )).
z2 2
Корінь степеня n, де n — ціле додатне число, з комплексного числа z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ) добувають за формулою:
|
ϕ+ 2πk |
+i sin |
ϕ+ 2πk |
, |
(1.19) |
|
n z = n ρ cos |
|
|
|
|||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
66
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
де k = 0, 1, 2, ..., n −1. Отже, існує n різних значень кореня n-го степеня з числа z. Усім цим значенням відповідають точки площини, які лежать на колі радіуса n ρ з центром у початку координат і є вершинами правильного n-кутника.
4.6. Показникова форма комплексного числа
За формулою Ейлера
eiϕ = cos ϕ+i sin ϕ .
Звідси випливає, що комплексне число, записане у тригонометричній формі, можна подати ще й так:
z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ) =| z | eiϕ.
Вираз | z | eiϕ називають показниковою формою комплексного числа z. Нехай z1 =| z1 | eiϕ1 , z2 =| z2 | eiϕ2 . Тоді:
1)z1 z2 =| z1 | | z2 | ei(ϕ1+ϕ2 ) ;
2)z1 = | z1 | ei(ϕ1−ϕ2 ) ; z2 | z2 |
3) zn =| z |n einϕ .
Т.4 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
1. Нехай z1 = 3+i , |
z2 = 4−3i . Виконайте дії: |
|
||||||||||||||||||||||||
а) z + z |
2 |
; |
б) 3z −2z |
2 |
; в) z z |
2 |
; г) |
z1 |
|
; д) (z )3 . |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
z2 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. а) |
z1 + z2 = (3+i) +(4−3i) = 7 −2i ; |
|
||||||||||||||||||||||||
б) 3z1 −2z2 = 3(3+i) −2(4−3i) = 9 +3i −8 +6i =1+9i ; |
||||||||||||||||||||||||||
в) z z |
2 |
= (3+i)(4−3i) =12 + 4i −9i −3i2 =12−5i +3 =15−5i ; |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
3+i |
|
|
|
|
(3+i)(4 +3i) |
|
12 + 4i +9i +3i2 |
|
||||||||||||||
г) |
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|||
z2 |
4 |
− |
3i |
(4−3i)(4 +3i) |
|
|
16− |
9i2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
9 +13i |
= |
|
|
9 |
|
+ |
13 |
i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
25 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) (z )3 = (3+i)3 |
= 27 + 27i +9i2 |
|
+i3 = 27 + 27i −9−i =18 + 26i . |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
2. Обчисліть i18 +i25 +i36 +i−1 .
Розв’язання. Враховуючи рівності i2 = −1, i3 = −i, i4 =1, маємо
i18 +i25 +i36 +i−1 = i16+2 +i24+1 +i36 −i =
=(i4 )4 i2 + (i4 )6 i + (i4 )9 −i = i2 +i +1−i = 0 .
3.Знайдіть дійсну та уявну частини комплексного числа
|
|
|
|
|
|
|
z = |
(3−2i)2 |
+ |
(i −1)3 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i +1 |
|
|
|
|
|
|||
Розв’язання. Виконаємо перетворення |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z = |
9−12i + 4i |
2 |
+i |
3 |
−3i |
2 |
+3i −1 |
= |
5−12i |
−i +3+3i −1 = |
||||||||
|
2i +1 |
|
|
|
2i +1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
(5−12i)(2i −1) |
+ 2i + 2 |
= |
10i + 24−5 +12i |
+ 2i + 2 = |
12i +9 |
. |
|||||||||||
|
(2i +1)(2i −1) |
|
−5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|||||||
Отже, Re z = − |
9 |
, Im z = − |
12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Знайдіть модуль й головне значення аргументу комплексних чисел, запишіть ці числа у тригонометричній формі:
a) z1 = 3 ; б) z2 = 2i ; в) z3 = −1;
г) z4 =1+i ; д) z5 =1−i 3 ; е) z6 = −2−i .
Розв’язання. Вказаним числам відповідають на площині точки M1 −M6
(рис. 1.15).
За формулами (1.15) — (1.17) дістаємо:
а) | z1 |= 3, |
ϕ1 = 0, |
z1 = 3(cos 0 + i sin 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) | z2 |= 2, ϕ2 = |
|
π |
, |
|
z2 |
= 2(cos |
π |
+ i sin |
|
π |
) ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) | z3 |= 1, |
ϕ3 = π, |
|
z3 = cos π + i sin π ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
г) | z4 |= |
2, ϕ4 = |
|
π |
, |
|
z4 = 2(cos |
π |
+ i sin |
π |
) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) | z |
|= |
1+ 3 = 2, ϕ |
5 |
= arctg(− |
3) = − |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
= 2(cos(− |
π |
) + i sin(− |
π |
)) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е) | z |
6 |
|= |
4 + 1 = |
|
|
|
5, |
ϕ |
= arctg |
1 |
− π, |
z |
6 |
= 5(cos |
ϕ |
+ i sin ϕ |
) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
5. Знайдіть (− 3 +i)13 .
Розв’язання. Запишемо дане число у тригонометричній формі (рис. 1.16):
|
ρ = (− 3)2 +12 |
= 2 , cos ϕ = − |
3 |
, sin ϕ = |
1 |
, ϕ = |
5π |
, |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
2 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z = − |
3 + i = 2(cos |
|
5π |
|
+ i sin |
5π |
) . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
6 |
6 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
За формулою Муавра дістанемо |
|
5π |
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(− |
3 + i)13 = 213 (cos13 |
+ i sin13 |
) = |
|
|||||||||||||||||||||
|
6 |
6 |
|
|||||||||||||||||||||||
= 213 |
|
5π |
|
5π |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(cos(10π + |
|
|
) + i sin(10π + |
|
) = |
|
213 (− |
|
|
+ i |
|
|
) = 4096(− 3 |
+ i) . |
||||||||||||
6 |
|
6 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
М4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М3 |
|
М1 |
|
|
φ |
–2 |
О |
1 |
3 |
х |
|
|
|
x |
|||||
М6 |
|
–1 |
|
− 3 |
О |
|
|
М5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.15 |
Рис. 1.16 |
6. Розв’яжіть рівняння z4 +16 = 0 .
Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді z4 = −16 . Тепер подамо число –16 у тригонометричній формі: −16 = 16(cos π + i sin π).
Використовуючи формулу (1.19), дістаємо
4 −16 |
= 2 |
cos |
π + 2πk |
+ i sin |
π + 2πk |
|
, k = 0, 1, 2, 3 . |
|
4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Послідовно визначаємо усі чотири корені даного рівняння:
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z1 |
= 2 |
|
|
cos |
|
|
+ i sin |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
= |
2 + i |
2, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
π + 2π |
|
|
|
|
π + 2π |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
z2 |
= 2 |
|
|
cos |
|
|
|
+ i sin |
|
|
|
|
= 2 |
|
− |
|
+ i |
|
|
|
= − |
2 + i 2, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
69
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
π + 4π |
|
|
π + 4π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z3 = 2 |
|
cos |
|
|
+ i sin |
|
|
= 2 |
|
− |
|
|
− i |
|
|
|
= − 2 |
− i 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
π + 6π |
|
|
π + 6π |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
z4 = 2 |
|
cos |
|
|
+ i sin |
|
|
= 2 |
|
|
|
− i |
|
|
|
= |
2 − i |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
З погляду геометрії одержані корені — вершини квадрата, вписаного у коло радіуса 2 (рис. 1.17).
|
y |
z2 |
z1 |
О2 x
z3z4
7. Розв’яжіть рівняння x2 −4x +5 = 0 . Розв’язання. Маємо квадратне рівняння з від’єм-
ним дискримінантом: D =16−4 5 = −4 . Значить рівняннямаєпарукомплексно-спряжених коренів:
x = |
4 + −4 |
= |
4 + 2i |
= 2 +i, |
|
|
|||
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
x |
= |
4− −4 |
= 2−i . |
|
|
|||
Рис. 1.17 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
8. Розв’яжіть рівняння | z | −2z = −1−8i.
Розв’язання. Невідоме число z запишемо в алгебраїчній формі: z = x +iy . Тоді
x2 + y2 −2x −2 yi = −1−8i .
З умови рівності комплексних чисел одержуємо систему двох рівнянь із двома невідомими:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ y |
|
−2x = −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 y = −8, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
розв’язок якої x = 3 , y = 4 . Отже, шукане число z = 3+ 4i . |
|||||||||||||||||||||
9. Нехай z = |
i |
π |
, z |
|
= |
|
i |
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2e |
6 |
2 |
3e |
|
3 . Виконайте дії: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) z z |
2 |
; б) (z )6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
π |
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
+ |
|
|
π |
|
π |
|
||||||
а) z z |
|
= 2e 6 3e 3 |
= |
|
|
6 |
|
|
|
|
6e 2 = 6(cos |
+i sin |
) = 6i ; |
||||||||
2 |
6e |
|
|
3 = |
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) (z )6 = (2ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 )6 = 64eiπ = −64 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/