Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdfТ.3 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
3.1. Знайдіть невизначені інтеграли, використовуючи виділення повного квадрата у знаменнику підінтегрального виразу.
3.1.1. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
3.1.2. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4x |
2 |
− 5x + |
4 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4x + 10 |
|||||||||||||||||||||||||||||
3.1.3. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
3.1.4. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2x |
2 |
− 7x + |
3 |
|
|
|
|
2x |
2 |
+ x − 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.1.5. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
3.1.6. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
9x |
2 |
+ 6x + |
2 |
|
|
|
|
|
4x |
2 |
− |
4x + |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.1.7. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3.1.8. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2x |
2 |
− 11x + |
2 |
|
|
2x |
2 |
+ x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3.1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3.1.10. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3x |
2 |
− 12x + |
3 |
|
|
|
2x |
2 |
+ |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.1.11. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
3.1.12. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
x |
2 |
− 5x + |
6 |
|
|
|
|
|
|
2x |
− |
3 − 4x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.1.13. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3.1.14. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3x |
2 |
− 8x − |
3 |
|
|
|
8 |
− 2x − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3.1.15. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
3.1.16. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
5x |
− 6 − x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
4x + |
25 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3.1.17. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
3.1.18. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
2x |
2 |
− 8x + |
30 |
|
3x |
2 |
− 9x + |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.1.19. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
3.1.20. ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 2x + 5 |
|
|
|
|
|
− |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.1.21. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3.1.22. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
x |
2 |
− 6x + |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
− 8x + |
16 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.1.23. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
3.1.24. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 8x + |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− |
8x + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.1.25. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
3.1.26. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
5x |
2 |
|
|
|
|
|
2x |
2 |
+ 6x + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 10x + 25 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.1.27. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
3.1.28. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
2 |
− 6x + |
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2x − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.1.29. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
3.1.30. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ 3x + |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
5x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.2. Знайдіть невизначені інтеграли, використовуючи виділення повного квадрата у знаменнику підінтегрального виразу.
3.2.1. ∫ |
|
|
|
x + 1 |
|
|
dx . |
|||
x |
2 |
+ 3x − 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
3.2.3. ∫ |
|
|
2x − 1 |
|
|
|
|
dx . |
||
3x |
2 |
|
− 2x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
− 1 |
|||||||
3.2.5. ∫ |
|
x + 5 |
|
dx . |
||||||
x |
2 |
|
||||||||
|
|
+ x − 2 |
|
|
|
|||||
3.2.7. ∫ |
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
dx . |
2x |
2 |
− 6x |
− |
8 |
||||||
|
|
|
|
∫4x − 1
3.2.9.4x2 − 4x + 5 dx .
3.2.11. ∫ |
|
|
x − 4 |
dx . |
|
x |
2 |
|
|||
|
|
|
− 2x − 3 |
||
3.2.13. ∫ |
|
|
|
5x + 1 |
dx . |
|
x |
2 |
|
||
|
|
|
− 4x + 6 |
∫x − 3
3.2.15.x2 − 5x + 4 dx .
2 − x
3.2.17. ∫ x2 + 4x − 5 dx .
∫2x − 1
3.2.19.3 + x − 2x2 dx .
3.2.21. ∫ |
|
3x + 1 |
|
|
dx . |
|||||
x |
2 |
|
|
|||||||
|
|
− x − 6 |
|
|
|
|
||||
3.2.23. ∫ |
|
|
2x + 3 |
|
|
|
|
dx . |
||
x |
2 |
+ 2x + |
7 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
3.2.25. ∫ |
|
x + 2 |
|
|
|
dx . |
||||
x |
2 |
2 |
||||||||
|
|
− x − |
|
|
|
|||||
3.2.27. ∫ |
|
|
|
x − 7 |
|
|
|
|
|
dx . |
4x |
2 |
+ 3x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
− 1 |
||||||||
3.2.29. ∫ |
|
x − 4 |
|
|
|
dx . |
||||
x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
− x + 1 |
|
|
|
|
122
∫x + 6
2.2.2.3x2 + 2x + 1 dx .
3.2.4. ∫ |
|
|
|
|
x |
|
dx . |
||||
x |
2 |
+ 2x + 5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.2.6. ∫ |
|
|
|
3x − 2 |
|
|
|
dx . |
|||
5x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|||||
|
|
3x − 2 |
|||||||||
3.2.8. ∫ |
|
|
|
5x |
− 2 |
|
|
|
dx . |
||
2x |
2 |
− |
5x + |
2 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
3.2.10. ∫ |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
dx . |
|||
x |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4x + 10 |
|||||||
3.2.12. ∫ |
|
|
4x + 8 |
|
|
|
|
dx . |
|||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ 6x + 10 |
|||||||
3.2.14. ∫ |
|
|
|
x |
|
dx . |
|||||
|
x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ 2x − 8 |
|||||||
3.2.16. ∫ |
|
|
|
2x − 1 |
|
dx . |
|||||
|
x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
− 8x + 7 |
∫2x − 1
3.2.18.3x2 − 6x − 9 dx .
3.2.20. ∫ |
|
x − 4 |
|
dx . |
|
|||||
3x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ x |
|
|||||
3.2.22. ∫ |
|
|
|
|
|
x − 3 |
dx . |
|||
|
4x |
2 |
+ |
4x + 5 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
3.2.24. ∫ |
|
|
|
|
x − 5 |
|
dx . |
|||
|
2x |
2 |
+ x − 3 |
|||||||
|
|
|
|
∫3x − 2
3.2.26.dx .
x2 + 8x + 17
3.2.28. ∫ |
|
|
2x + 1 |
dx . |
||
x |
2 |
+ |
2x + 10 |
|||
|
|
|
|
|||
3.2.30. ∫ |
|
|
|
x |
|
dx . |
x |
2 |
|
|
|
||
|
|
− 8x + 20 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.3. Знайдіть невизначені інтеграли, ральної функції на елементарні дроби.
3.3.1. ∫ |
|
|
|
3x2 + 20x + 9 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||
(x |
2 |
+ 4x + 3)(x + |
5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.3.3. ∫ |
|
|
|
|
|
43x − 67 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||
(x |
2 |
− x − 12)(x − 1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.3.5. ∫ |
|
|
|
|
|
12x |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||
(x |
2 |
+ 6x + 5)(x + |
3) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.3.7. ∫ |
|
|
|
|
x2 + 8x − 4 |
|
|
|
|
dx . |
||||||||
(x |
2 |
+ 5x + 6)(x − |
1) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.3.9. ∫ |
|
|
|
6x2 + 6x − 6 |
|
|
dx . |
|||||||||||
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
+ x − 2)(x + 1) |
|
|
|
|
|||||||||||
3.3.11. ∫ |
|
|
|
3x2 + 3x − 24 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||
(x |
2 |
− x |
− 2)(x − |
3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.3.13. ∫ |
|
|
|
|
3x2 − 15 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||
(x |
2 |
+ 5x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
6)(x − 1) |
|||||||||||||||
3.3.15. ∫ |
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
dx . |
||||||||
x |
3 |
+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
− x − 2 |
|
|
|
|
||||||||||
3.3.17. ∫ |
|
|
|
2x2 + |
41x − 91 |
|
|
dx . |
||||||||||
(x |
2 |
+ 2x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3)(x + 2) |
|||||||||||||||
3.3.19. ∫ |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
(x |
2 |
+ 8x |
+ |
15)(x + |
1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.3.21. ∫ |
|
|
|
|
6x4 |
|
|
dx . |
||||||||||
(x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
− 1)(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.23. ∫ |
|
|
|
|
2x2 + 12x − 6 |
|
|
|
dx . |
|||||||||
(x |
2 |
+ 8x |
+ |
15)(x + |
1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.3.25. ∫ |
|
|
|
|
x − |
7 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||
(x |
2 |
− 5x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
6)(x + 1) |
використовуючи розклад підінтег-
3.3.2. ∫ |
|
|
|
|
|
12 |
dx . |
|||||||
(x |
2 |
− 4x + |
|
|||||||||||
|
|
3)(x − 2) |
||||||||||||
3.3.4. ∫ |
|
|
|
2x2 + 8x + 9 |
dx . |
|||||||||
(x |
2 |
+ x − 2)(x + 3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.3.6. ∫ |
|
|
|
|
|
2x − 7 |
|
|
dx . |
|||||
(x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
− 5x + 6)(x + 1) |
||||||||||||
3.3.8. ∫ |
|
|
|
|
|
5x + 17 |
|
|
dx . |
|||||
(x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ 4x + 3)(x + 5) |
||||||||||||
3.3.10. ∫ |
|
|
|
37x − 85 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
(x |
2 |
+ 2x |
− 3)(x − |
3) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.3.12. ∫ |
|
|
6x2 − |
4x + 30 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
(x |
2 |
− 2x |
− 3)(x − |
2) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.3.14. ∫ |
|
|
|
x2 − 19x + 6 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
(x |
2 |
+ 5x |
+ 6)(x − |
1) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.16. ∫ |
|
|
4x2 + 32x + 52 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||
(x |
2 |
+ 6x |
+ 5)(x + |
3) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.3.18. ∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
(x |
2 |
+ 2x |
− 3)(x + |
2) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.3.20. ∫ |
|
|
|
6x2 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
(x |
2 |
+ 3x |
+ 2)(x − |
1) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.3.22. ∫ |
|
|
|
2x2 − 26 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
(x |
2 |
+ 4x |
+ 3)(x + |
5) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.3.24. ∫ |
|
|
|
|
20x2 |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||
|
(x |
2 |
+ 2x |
− 3)(x − |
4) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.3.26. ∫ |
|
|
|
6x − 21 |
|
|
dx . |
|||||||
(x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+ x − 2)(x + 1) |
123
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
2.3.27. ∫ |
|
|
|
2x4 − 3 |
|
|
dx . |
3.3.28. ∫ |
|
|
7x2 − 17x |
|
|
dx . |
|
(x |
2 |
|
|
|
|
(x |
2 |
− |
2x − 3)(x − 2) |
||||||
|
|
− 5x + 4)(x + 3) |
|
|
|
||||||||||
3.3.29. ∫ |
6x4 − 30x2 + |
30 |
dx . |
3.3.30. ∫ |
|
3x2 − 17x + |
2 |
|
dx . |
||||||
(x |
2 |
− 1)(x + 2) |
(x |
2 |
+ |
5x + 6)(x − 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Знайдіть невизначені інтеграли, використовуючи розклад підінтегральної функції на елементарні дроби.
3.4.1. ∫ |
|
x3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4.2. ∫ |
x3 |
|
− 2x2 − 2x + 1 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
3 |
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.4.3. ∫ |
|
|
|
|
|
|
3x2 + 1 |
|
|
dx . |
|
3.4.4. ∫ |
|
|
|
|
x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(x |
2 |
|
|
− 1)(x − 1) |
|
x |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.4.5. ∫ |
|
|
4x4 |
|
|
+ 8x3 − 3x |
− 3 |
|
dx . |
3.4.6. ∫ |
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
+ 2x |
2 |
+ x |
|
x |
3 |
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.4.7. ∫ |
|
2x2 |
|
|
− 2x − 1 |
dx . |
|
3.4.8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− x |
3 |
|
|
(x |
2 |
|
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1)(x + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
3.4.9. ∫ |
|
2x3 + 1 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
3.4.10. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3.4.11. ∫ |
|
2x2 − 5x + 1 |
dx . |
|
3.4.12. ∫ |
|
|
x2 + x + 2 |
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|
|
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3.4.13. ∫ |
|
|
3x 2 + 2 |
|
dx . |
|
|
|
3.4.14. ∫ |
|
4x4 + 8x3 − 1 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x + 1) |
2 |
|
|
|
(x |
2 |
+ x)(x + |
1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3.4. 15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
dx . |
|
3.4.16. ∫ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|
x |
3 |
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3.4.17. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 3 |
|
|
|
dx . |
|
3.4.18. ∫ |
|
|
6x − 2x2 − 1 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
2 |
|
|
− 1)(x − 1) |
|
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3.4.19. ∫ |
|
|
x3 − 4x 2 − 1 |
dx . |
|
3.4.20. ∫ |
4x 4 + 8x3 − 2 |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
+ x |
|
|
|
|
x(x + |
1) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3.4.21. ∫ |
|
|
|
|
x3 − 4x + 5 |
|
|
dx . |
|
3.4.22. ∫ |
|
|
x2 − 3x + 2 |
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
2 |
|
|
− 1)(x − 1) |
|
|
x |
3 |
|
+ 2x |
2 |
+ x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∫x + 5
3.4.23.x3 − x2 − x + 1 dx .
3.4.25. ∫ |
|
|
4x |
dx . |
(x |
2 |
− 1)(x + 1) |
||
|
|
|
∫2x2 + 1
3.4.27.dx .
x3 − 2x2 + x
3.4.29. ∫ 3x − x2 − 2 dx . x(x + 1)2
3.5. Знайдіть невизначені інтеграли, ральної функції на елементарні дроби.
3.5.1. ∫ |
|
|
3x + 13 |
dx . |
(x |
2 |
+ 2x + 5)(x − 1) |
||
|
|
|
3.5.3.∫ x2 − 6x + 8 dx .
x3 + 8
3.5.5. ∫ |
|
2x2 + 2x + |
20 |
dx . |
|
(x |
2 |
+ 2x + 5)(x − 1) |
|||
|
|
|
3.5.7.∫ 7x − 10 dx .
x3 + 8
3.5.9.∫ 4x − x2 − 12 dx .
x3 + 8
3.5.11. ∫ |
|
2x2 + 2x + |
20 |
dx . |
|
(x |
2 |
+ 2x + 5)(x − 1) |
|||
|
|
|
3.5.13.∫ 6 − 9x dx .
x3 + 8
3.5.15.∫ 4x + x + 10 dx .
x3 + 82
3.5.17. ∫ |
(x 2 + 4x + 20)dx |
. |
2 |
||
|
(x − 4x + 13)(x + 1) |
3.4.24. ∫ |
3x2 − 7x + 2 |
dx . |
||
(x |
2 |
− x)(x − 1) |
||
|
|
|
3.4.26.∫ 2x + 4x + 3 dx .
x3 + x 23
3.4.28.∫ 2x + 5x − 1 dx .
x3 + x223
3.4.30. ∫ 4x3 + 2x 2 + 1 dx . x(x − 1)2
використовуючи розклад підінтег-
3.5.2. ∫ |
|
|
|
|
12 − 6x |
dx . |
||
|
(x |
2 |
− 4x |
+ 13)(x + 1) |
||||
|
|
|
|
|
||||
3.5.4. ∫ |
|
|
|
4x + 2 |
dx . |
|
||
|
x |
4 2 |
|
|||||
|
|
|
+ 4x |
|
|
3.5.6.∫ x2 + 3x + 2 dx .
x3 − 1
9(x − 1)dx 3.5.8. ∫ (x 2 − 4x + 13)(x + 1) .
3.5.10.∫ 3 − 9x dx .
x3 − 1
3.5.12. ∫ |
|
|
(4x − 10)dx |
. |
|
|||
|
|
2 |
|
|||||
|
(x |
− 2x + 10)x |
||||||
3.5.14. ∫ |
|
(x |
2 − 13x + 40)dx |
. |
||||
2 |
|
|
||||||
|
(x |
− 4x + 13)(x + 1) |
||||||
3.5.16. ∫ |
|
|
6x |
|
dx . |
|||
|
x |
3 |
− 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
3.5.18.∫ 3x + 2x + 1 dx .
x3 − 12
125
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
3.5.19. ∫ |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
dx . |
3.5.20. ∫ |
|
|
|
|
(4x 2 + 38)dx |
|
. |
|||||||||
|
(x |
2 |
+ 6x + |
13)(x + 1) |
(x |
2 |
− 2x + 2)(x + |
2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.5.21. ∫ |
|
|
|
19x − x |
2 − |
34 |
|
|
dx . |
3.5.22. ∫ |
2x2 + 7x |
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(x |
2 |
− 4x + |
13)(x + 1) |
|
x |
3 |
− 8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.5.23. ∫ |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
dx . |
3.5.24. ∫ |
|
|
|
|
|
|
5x + 13 |
|
|
|
|
dx . |
||||
|
(x |
2 |
− 2x + |
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
10)(x + 2) |
|
|
|
|
|
+ 6x + 13)(x + 1) |
||||||||||||||||||
3.5.25. ∫ |
|
|
|
|
x2 − 5x + 40 |
|
dx . |
3.5.26. ∫ |
|
|
|
|
|
4x2 + 7x + 5 |
|
|
dx . |
||||||||||
|
(x |
2 |
− 2x + |
5)(x + 2) |
|
(x |
− 1)(x |
2 |
+ 2x + |
5) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.5.27. ∫ |
|
|
|
|
x2 + |
23 |
|
|
dx . |
3.5.28. ∫ |
|
|
|
|
4x2 + 3x + 17 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||
|
(x |
2 |
+ 2x + |
|
|
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5)(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x + 5)(x − 1) |
||||||||||||||||
3.5.29. ∫ |
|
|
5x2 + 17x + |
36 |
|
|
dx . |
3.5.30. ∫ |
|
|
|
|
|
|
2x + 22 |
|
|
dx . |
|||||||||
(x |
2 |
+ 6x + 13)(x + 1) |
|
(x |
2 |
− 2x + 5)(x − |
1) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4. ІНТЕГРУВАННЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
Методи інтегрування тригонометричних функцій. Універсальна тригонометрична підстановка. Частинні випадки раціоналізації інтегралів від тригонометричних функцій.
Література: [1, розділ 6, п. 6.5], [2, розділ 2, п. 2.1], [4, розділ 7, § 22], [6, розділ 8], [7, розділ 10, § 12], [9, § 32].
Т.4 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
4.1. Інтегрування тригонометричних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки
Інтеграли вигляду ∫ R(sinx, cos x)dx, де R — раціональна функція від sin x і cos x, за допомогою універсальної тригонометричної підстановки
126
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
tg 2x = t зводять до інтегралів від раціональних функцій. При цьому вико-
ристовують співвідношення:
sin x = |
|
2t |
, |
cos x = |
1 − t 2 |
, dx = |
|
2 |
dt . |
|
|
+ t 2 |
1 |
+ t 2 |
|
+ t 2 |
|||||
1 |
|
|
1 |
|
За допомогою запровадженої підстановки зручно знаходити інтеграли вигляду
dx |
|
∫ a cos x + b sin x + c . |
(*) |
Проте застосування універсальної підстановки часто приводить до раціональних дробів з великими степенями. Тому в багатьох випадках використовують інші підстановки. Наведемо деякі з них.
4.2.Частинні випадки інтегрування тригонометричних функцій
4.2.1.∫ R(sin x, cos x)dx залежно від властивості підінтегральної функ-
ції зручно раціоналізувати такими підстановками (див. табл. 2.2):
|
|
|
Таблиця 2.2 |
|
|
|
|
||
№ |
Властивість підінтегральної функції |
Підстановка |
||
|
R(sin x, cos x) |
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
непарна відносно |
sin x : |
cos x = t |
|
R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) |
||||
|
|
|||
|
|
|
||
2 |
непарна відносно cos x : |
sin x = t |
||
R(sin x,− cos x) = −R(sin x, cos x) |
||||
|
|
|||
|
|
|
||
3 |
парна відносно cos x і sin x одночасно: |
tg x = t |
||
R(− sin x,− cos x) = R(sin x, cos x) |
||||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зокрема, інтеграли |
∫ R(sin x) cos xdx , ∫ R(cos x) sin xdx , ∫ R(tg x)dx ін- |
тегрують підстановками sin x = t , cos x = t , tg x = t відповідно.
127
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
4.2.2. Інтеграли вигляду ∫sin m x cosn xdx |
залежно від значень m і n |
|||||
знаходять так (див. табл. 2.3): |
|
|
Таблиця 2.3 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Властивість підінтегральної функції |
Підстановка |
|
||||
sinm x cosn x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m — ціле додатне непарне число |
cos x = t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n — ціле додатне непарне число |
sin x = t |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
формули зниження степеня: |
||||
|
|
|
cos2 x = |
1+ cos 2x |
, |
||
3 |
|
m, n — цілі додатні парні числа |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin2 x = |
1− cos 2x |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m, n — цілі парні числа, але хоча б одне з |
tg x = t |
|
|||
4 |
|
них від’ємне; |
|
||||
|
|
m i n — цілі непарні від’ємні числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.3.Інтеграли вигляду
∫sin mx cos nxdx , ∫sin mx sin nxdx , ∫ cos mx cos nxdx
інтегрують шляхом застосування формул перетворення добутку тригонометричних функцій у їх суму:
sin mx cos nx = |
|
1 |
[sin(m + n)x + sin(m − n)x] , |
||
2 |
|||||
|
|
||||
sin mx sin nx = |
1 |
|
[cos(m − n)x − cos(m + n)x] , |
||
2 |
|
||||
|
|
|
|||
cos mx cos nx = |
|
1 |
[cos(m − n)x + cos(m + n)x] . |
||
2 |
|||||
|
|
4.2.4.Інтеграли вигляду
∫tg n xdx , або∫ ctg n xdx ,
де n — ціле додатне число, можуть бути знайдені за допомогою застосу-
вання формул tg2 x = |
1 |
|
− 1 , ctg2 x = |
1 |
|
− 1 , або ж за допомогою |
cos2 |
|
sin2 |
|
|||
|
x |
x |
||||
заміни tg x = t ( ctg x = t ). |
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Т.4 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
Знайдіть інтеграли
1. ∫ |
|
dx |
. |
|
5 |
− 3cos x |
|||
|
|
Розв’язання. Маємо інтеграл вигляду (*). Отже, виконаємо заміну
tg |
x |
= t . Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||
|
|
∫ |
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||
|
|
5 − 3 cos x |
|
(1+ t |
2 |
|
|
1− t |
2 |
(5 |
+ 5t2 − 3 + 3t2 ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
5 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
dt |
|
|
= |
1 |
|
arctg(2t) + C |
= |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
+ C. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
2 tg |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1+ 4t |
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. ∫sin 5 x cos xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Розв’язання. Зробимо заміну sin x = t . Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
∫ sin5 x cos xdx = ∫ sin5 xd(sin x) = ∫ t5 dt = |
t6 |
|
+ C = |
sin6 x |
+ C . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3. ∫sin 2x cos 6xdx .
Розв’язання. Оскільки sin 2x cos 6x = |
1 |
|
(sin 8x − sin 4x) , то |
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫sin 2x cos 6xdx = |
1 |
∫ (sin 8x − sin 4x)dx = − |
1 |
cos 8x + |
1 |
cos 4x + C . |
||||||||||||||
2 |
16 |
8 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Розв’язання. Підінтегральна функція |
R(sin x, cos x) = |
|
|
|
1 |
парна |
||||||||||||||
sin 3 |
x cos x |
|||||||||||||||||||
відносно sin x та cos x одночасно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
R(− sin x,− cos x) = |
1 |
|
= |
|
|
1 |
|
= R(sin x, cos x) . |
||||||||||||
(− sin x)3 (− cos x) |
|
sin 3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Тому даний інтеграл зводиться до вигляду ∫ R(tg x)d tg x . Враховуючи
співвідношення d tg x = |
|
dx |
|
|
та |
1+ tg2 x = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, одержуємо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
|
|
cos2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
= |
||||||||||||||||||
|
sin |
3 |
|
x cos x |
|
tg |
3 |
x cos |
4 |
x |
|
tg |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
cos |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos |
|
|
x |
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
(1+ tg2 |
x)d tg x |
|
=∫ |
|
d tg x |
|
+ |
∫ |
|
d tg x |
|
= − |
|
1 |
ctg |
2 |
|
x + ln |
|
tg x |
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
tg |
3 |
x |
|
|
|
|
|
tg |
3 |
x |
|
|
tg x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. ∫sin 5 x cos 4 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розв’язання. Виконаємо підстановку cos x = t |
|
(див. табл. 2.3). Маємо: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫sin 5 x cos 4 xdx = ∫ (sin 2 x)2 cos 4 x sin xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= −∫ (1− cos 2 x)2 cos4 xd cos x = − ∫ (1− t 2 )2t 4 dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= −∫(1− 2t2 + t4 )t4dt = −∫(t4 − 2t6 + t8 ) dt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= − |
t 5 |
|
+ |
|
2 |
t |
7 |
− |
|
t 9 |
|
+ C = − |
cos5 x |
|
+ |
2 |
|
cos |
7 |
x |
− |
|
cos9 x |
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
7 |
|
9 |
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. ∫ cos 4 xdx .
Розв’язання. Оскільки m = 0, n = 4 — парне, то застосуємо формулу зниження степеня:
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1+ cos 2x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
cos |
|
x = (cos |
|
x) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(1+ 2 cos 2x + cos |
|
2x) = |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
1 |
+ |
1 |
cos 2x + |
1 |
|
(1+ cos 4x) = |
3 |
+ |
1 |
cos 2x + |
1 |
cos 4x . |
||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
8 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ cos 4 xdx |
= |
∫ dx + |
∫ cos 2xdx + |
∫ cos 4xdx = |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=38x + 14 sin 2x + 321 sin 4x + C .
7.∫32 sin 6 x cos 4 xdx .
Розв’язання. Виконаємо перетворення
130
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/