Home Assignment 2.3. Straight line in space

1. Означення напрямного вектора прямої. Канонічне рівняння прямої в просторіі геометричний зміст його параметрів. Як розташована пряма, коли в канонічному рівнянні знаменник дорівнює нулю?

2. Параметричне рівняння прямої в просторі. Геометричний зміст його параметрів. Як отримати параметричне рівняння прямої із її канонічного рівняння?

3. Рівняння прямої, як лінії перетину двох площин. Перехід від рівняння прямої, як лінії перетину двох площин до канонічного рівняння.

4. Записати рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки.

5. Означення кута між прямими у просторі. Формула для косинуса кута між двома прямими, заданими канонічними рівняннями. Умови паралельності, перпендикулярності двох прямих.

6. Означення кута між прямою і площиною. Умови паралельності, перпендикулярності.

Pr. 1. Straight line L is given by the general equations:

Write down the standard equation of this line.

Pr. 2. Write down the equation of the straight line passing through the points .

Pr. 3. Prove that the lines lie in one plane and write down the equation of this plane if

.

Pr. 4. Prove that the lines L₁ and L₂ are parallel and calculate the distance between them if

Pr. 5. What is the parameter when the line is parallel to the plane

.

Pr. 6. Find the equation of the projection of the line on the plane

Pr. 7. Write down the equation of the straight line passing through the points М(1;–2;1) and parallel to the line

Pr. 8. Write down the standard equation of the straight line which passes through the points parallel to the plane and intersects the line .

Pr. 9. Compose the equation of the plane passing through the point and perpendicular to the planes .

Pr. 10. Find the angle between the line and the plane Р: .

The answers: Pr. 1. Pr. 2. Pr. 3. . Pr. 4. . Pr. 5. . Pr. 6. . Pr. 7. . Pr. 8. Pr. 9. . Pr. 10. 11˚30΄.

Home Assignment 2.4. The limits of sequences and functions question list

(Translate and prepare yourself for the test)

1. Означення границі числової послідовності.

2. Означення границі функції в точці.

3. Означення границі функції на нескінченності.

4. Означення нескінченної границі функції в точці.

5. Означення нескінченно малої (нескінченно великої) величини.

6. Якою буде величина обернена до нескінченно малої (нескінченно великої) величини?

7. Записати чотири типи невизначеності.

8. Теорема про границі суми, добутку, частки двох функцій.

Pr. 1. Calculate the limits of the following sequences:

а) ;b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) h) .

Pr. 2. Calculate the limits of the following functions:

а) ; b) ; c)

d) ; e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ; j).

The answers: Pr. 1. а) 3; b) 0; c) ; d) 15/17; e) 4; f) 1; g) 4/3; h) 1. Pr. 2. а) 0; b)–2/5; c) ; d) ; e) ; f) ; g) 0; h) – 1; i) m/n; j) m/n.

Home Assignment 2.5. The first remarkable limit question list

(Translate and prepare yourself for the test)

1. Теорема про першу визначну границю.

2. Ряд еквівалентних нескінченно малих величин, який випливає з першої визначної границі.

Pr. 1. Using the first remarkable limit calculate:

а) ;

b) ; c);

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

Pr. 2. Calculate the following limits:

a) ;

b)

c) ;

d) ;

e) .

Answers:

Pr. 1. а) ;b) 1/2 c) 1/2; d) ;e) 3/2; f) – 5; g) –1/2. Pr. 2. а) 1; b) 0; c) 0; d) –1/2.