Метод та конр завд Meh molek fiz
.pdf
( |
2 |
− |
1 |
) − 0.1 ( |
2 |
+ |
3 |
) |
|
||
2 |
2 |
2 |
2 |
≈ 2.510−2 (м / c2 ) |
|||||||
w = 9.8 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так як w>0, то напрям руху вибрано вiрно.
Для того, щоб визначити натяг нитки, розглянемо окремо рух тягаря В пiд дією прикладених до нього сил. Рiвнодiйна всiх сил, прикладених до цього тягаря дорівнює:
F' = T − m2 g (sin β + k cos β) .
(1.12)
Запишемо другий закон Ньютона для тягаря В:
F' = m2 w .
(1.13)
Пiдставляємо F’ iз (1.13) в вираз (1.12)
m2 w = T − m2 g (sin β + k cos β ) .
(1.14)
З виразу (1.14) знаходимо натяг нитки.
T = m2 (w + g(sin β + k cos β ) .
|
|
|
|
|
(1.15) |
|
Пiдставляємо данi i проводимо обчислення: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
T =1 2.5 10−2 +9.8 |
|
0.5+0.1 0.5 |
|
|
≈ 5.8(H). |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Вiдповiдь: |
|
|
|
|
|
|
w = 2.5 10−2 |
|
м/с2 , T = 5.8 H |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 3. Закони збереження енергiї та iмпульсу.
Основнi формули.
Повна механiчна енергiя невзаємодiючої частинки в полi консервативних сил
Ei = Ti + Ui = const ,
де Ti - кiнетична енергiя, Ui - потенцiальна енергiя частинки.
Потенцiальна енергiя тiла в полi тяжiння Землі:
U = m g h .
де h - висота тiла над рiвнем, прийнятим за початок вiдлiку потенцiальної енергiї.
Потенцiальна енергiя гравiтацiйної взаємодiї
m m
U = −G 1 2 2
r
де G - гравiтацiйна постiйна; m1, m2 - маси тiл; r - вiдстань мiж ними. Потенцiальна енергiя пружно деформованої пружини:
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
|
k x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де k - жорсткiсть пружини, x -абсолютна деформацiя. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Робота, виконана зовнiшними силами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A = E2 − E1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Закон збереження iмпульсу системи N тiл ( pi |
- імпульс одного |
|||||||||||||||||||||
тіла) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∑ pi |
= const |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I=1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Швидкiсть двох куль пiсля абсолютно непружного центрального |
||||||||||||||||||||||
удару: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
m v +m |
2 |
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
u |
= |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m1 +m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Швидкiсть двох куль пiсля абсолютно пружного центрального |
||||||||||||||||||||||
удару: |
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||
r |
|
2 m v |
2 |
+ (m − m ) v |
|
r |
|
|
|
2 m v |
1 |
(m − m ) v |
2 |
|
|||||||||
u = |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
u |
= |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де m1 і m2 - маси куль; v1і v2 |
- їх швидкості до удару. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Приклад розв’язування задач.
Приклад 1.4. З пружинного пiстолета вистрiлили кулею, маса якої 5 г.
Жорсткiсть |
пружини k = 1.25 103 Н / м .Пружина була |
стиснута на |
l = 8 см . Якої максимальної висоти досягне куля, |
якщо кiнець дула пiстолета знаходиться на висотi h0 = 1.5м вiд
поверхнi Землi i розташованний пiд кутом α = 30° до горизонту. Опором повiтря знехтувати.
Дано:
m = 5 г = 5 10−3 кг k = 1.25 103 Н / м
l= 8см = 8 10−2 м
α= 30°
hm − ?
Розв’язок
Рух кулi зручно розглядати в плоскiй декартовiй системi координат, початок якої спiвпадає з точкою вильоту кулi, вiсь ОХ паралельна поверхнi Землi, а вiсь OY перпендикулярна до неї. Як видно з рисунка, висота кулi над поверхнею Землi в довiльний момент часу:
h = h0 + y |
. |
(1.16) |
|
|
|
Максимальна висота пiдйому: |
|
|
hm = h0 + Hm . |
(1.17) |
|
Значення Hm знайдемо, розглядаючи рух кулi як рух тiла,
кинутого пiд кутом α до горизонту.
Cкладний криволiнiний рух по параболi можна зобразити як суму двох незалежних прямолiнiних рухiв: рiвномірного зi швидкiстю
v2 = v0 cosα вздовж осi OX, і рівнозмінного вздовж осі OY,
причому при пiдйомi кулi цей рух являється рiвносповiльненим з прискоренням g.
Проекцiя швидкостi vв в довiльний момент часу на вiсь OY:
vв = v0 sinα − g t,
|
|
|
|
|
(1.18) |
|
а координата |
|
|
|
|
|
|
|
y = v |
|
t sinα − |
g t |
2 |
; |
|
0 |
|
|
|||
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y = Hm при t |
= tпідйому . |
|
|
|
||
Значення tпідйому |
знайдемо з умови, що в найвищiй точцi |
|||||
траєкторiї vв = 0::
v0 sinα − g tпідйому = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) |
|||
звiдки |
|
|
|
|
|
|
v0 sinα |
|
|||
t |
підйому |
= |
. |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
g |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.20) |
|||
Пiдставивши значення tпідйому , знаходимо: |
|||||||||||
|
H = |
v2 |
sin2 α |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
2 g |
|
|||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.21) |
|||
Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 sin2 |
α |
||||
|
h |
= h + |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
2 g |
|
|
|
||||||
|
m |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.22) |
|||
Невiдому початкову швидкiсть, шо входить у вираз (1.22), знайдемо iз закону збереження енергiї, який полягає в тому, що
потенцiальна енергiя пружно деформованої пружини дорiвнює кiнетивнiй енергiї кулi U=T
|
|
|
|
m v2 |
|
|
|
|
|
|
|
k ( |
|
|
l)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Т = |
|
|
0 |
|
; |
|
|
U = |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
(1.23) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
звiдки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
= |
|
k |
|
( l)2 . |
|
|
|
|
|
|
(1.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Враховуючи (1.24), отримуємо кiнцеву формулу: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ( |
|
l) |
2 |
sinα |
|
|
|
|
|
|
|
(1.25) |
||||||
|
|
|
h |
= h |
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 m g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Перевiряємо розмiрнiсть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
м2 |
|
кг |
|
м |
м |
|
|||||||
|
[k] [ l]2 |
|
|
|
|
|
= м + |
|
|
= м |
||||||||||||||||||||
[h ] = [h]+ |
= м + |
м |
с2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
m |
|
[g] [m] |
|
|
|
|
|
|
|
м |
кг |
|
|
м |
|
кг |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
2 |
|
|
|
с |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Переконавшись, що одиниця в правiй частинi виразу (1.25) спiвпадає з одиницею лiвої частини ,пiдставляємо в формулу значення величин i виконуємо обчислення:
h = 1.5 + |
1.25 103 |
8 10−2 )2 5 10−1)2 |
|
≈ 21.9 (м) |
||
2 |
9.8 5 10−3 |
|
||||
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Вiдповiдь: Максимальна висота пiдйому кулi hm |
= 21.9 м |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
В реальних умовах при заданих параметрах задачi вона менша, бо ККД пружинного пiстолета не дорiвнює 100% i значна частина енергiї витрачається на подолання сил опору повiтря. В цiй задачi, крiм закону збереження енергiї, вивчено рух тiла ,кинутого пiд кутом до горизонту, розглянуто пружнi властивостi твердого тiла.
Тема 4. Динаміка обертального руху. Момент сили. Момент інерції, момент імпульсу.
Основнi формули.
ОБЕРТАЛЬНИЙ РУХ |
ПОСТУПАЛЬНИЙ РУХ |
ω -кутова швидкiсть |
V -лiнiйна швидкiсть |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
w = v -лiнiйне прискорення |
|
||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
β =ω -кутове прискорення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
J -момент інерцiї |
|
|
|
|
|
m -маса |
|
|
|
|
|
|
||||||
L = |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
J ω -момент iмпульсу |
P = m v -iмпульс тiла |
|
|
|
|||||||||||||
ϕ = ω t -кут повороту при |
|
s = v t -шлях при рiвномiрному |
|
|||||||||||||||
рiвномiрному обертаннi |
|
|
русi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ϕ = |
ϕ |
|
+ω |
|
t ± |
β t2 |
|
s = s + v t ± |
a t2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
- |
|
|
-шлях |
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||||
кут повороту при рiвнозмінному |
при рівнозмінному прямолінійному |
|
||||||||||||||||
обертанні по колу |
|
|
|
|
русі |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
r |
r |
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
= F (m |
= |
||
L = M або J β = M |
P = F або m |
w |
||||||||||||||||
-основний закон динаміки |
|
|
-другий закон Ньютона |
|
|
|
||||||||||||
обертального руху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v2 -кінетична енергія при |
|||||
T = |
J ω2 |
-кінетична |
|
T = |
2 m |
|||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поступальному русі |
|
|
|
|
|
||||
енергія тіла, що обертається |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
навколо нерухомої осі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dA = M dϕ -робота при |
|
dA = F ds -робота при |
|
|||||||||||||||
обертанні |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
поступальному русі |
|
|
|
|
|
||||||
Приклад розв’язування задач.
Приклад 5. Маховик, момент iнерцiї якого 245 кг м2 обертається, роблячи 20 об/с.Через хвилину пiсля того, як на нього перестав дiяти обертовий момент, вiн зупинився. Знайти: 1) момент сил тертя; 2)число обертiв, якi зробив маховик до зупинки.
Обертальний рух маховика проходить тiльки пiд дiєю моменту сил тертя i є рiвносповільненим. Запишемо для нього основний закон динамiки обертального руху.
.
(1.26)
Кутове прискорення зручно знайти з формули:
β = ω0 −ωk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.27) |
Пiдставивши β з формули (1.27) в формулу (1.26) i |
||||||||||||||||||||||||
врахувавши, що ωk |
|
= 0, маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M = |
|
J ω0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За означенням ω0 = 2 π v0 ,тому: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M = |
|
2 π v0 J |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перевiримо розмiрнiсть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
[J] [v ] |
|
|
кг м2 |
с |
−1 |
|
|
м2 |
|
||||||||||||||
[M ] = |
|
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
кг |
|
|
|
= Н м |
|||
[t] |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
с |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проводимо обчислення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M = |
2 3.14 20 245 |
= 513 (Н м) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
Кількість обертiв знайдемо за формулою: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N = |
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
де ϕ -кутовий шлях, здiйснений маховиком за час t. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ϕ = ω |
|
t ; |
|
ω |
|
= |
ω0 |
|
= π v |
|
|||||||||||||
|
ср |
|
ср |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
Враховуючи це, знаходимо число обертiв:
|
N = |
v0 t |
|
|||
|
|
|
||||
|
2 . |
|||||
Проводимо обчислення: |
|
|
||||
N = |
|
20 60 |
|
= 600 |
||
2 |
|
|
||||
|
|
|
. |
|||
Вiдповiдь: M = 513 Н м, |
|
N = 600 . |
||||
Тема 5. Закон збереження енергiї i моменту iмпульсу при
обертальному русi.
Основнi формули.
Закон збереження моменту iмпульсу:
J ϖ = const,
де J -момент iнерцiї тiла; ω -його кутова швидкiсть.
Кiнетична енергiя тiла, що обертається навколо осі, яка в свою чергу рухається поступально зi швидкiстю v
T = |
1 |
m v2 |
+ |
1 |
J ω2 . |
|
2 |
|
|
2 |
|
Приклад розв’язування задач.
Приклад 6. Горизонтальна платформа масою 80 кг i радiусом 1м обертається, роблячи 1 об\с.В центрi платформи стоїть людина i тримає в руках гирi.Яка буде частота обертання платформи, якщо людина, опустивши руки, зменшить свiй момент iнерцiї вiд 2,94 до 0,98 кг.м2? Платформу вважати круглим однорiдним диском.
Оскiльки, згiдно з умовою задачi, силами тертя нехтують, то момент сили, який дiє на платформу, дорiвнює нулю, а це означає, що можна застосувати закон збереження моменту iмпульсу. Запишемо його в такому виглядi:
J1 ω1 = J2 ω2 ,
(1.30) де J1 і J2 -момент iнерцiї системи вiдповiдно до i пiсля змiни:
J |
1 |
= J |
n |
+ J |
1) ; J |
2 |
|
= J |
n |
+ J 2) |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J |
|
= |
1 |
|
m R2 ; ω |
|
= 2 π v ; ω |
|
= 2 π v |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 . |
||||||||||
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
||
Пiдставивши цi вирази в формулу (1.30), отримаємо:
( |
1 |
m R2 + J 1) ) v = ( |
1 |
m R2 + J |
2) ) v |
|
|||||||
|
|
2 |
|||||||||||
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.31) |
звiдки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v |
= v |
0.5 m R2 |
+ J !) |
|
|
|
|||||
|
|
0.5 m R2 + J 2) . |
|
|
|||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
|
Проводимо обчислення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
v2 =1 |
0.5 80 1+ 2.94 |
|
≈1.05 (c−1 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0.5 80 1+ 0.98 |
|
|
. |
|
|||||
|
Така незначна змiна частоти вiдбувається в данному випадку |
||||||||||||
тому, що J 1) і J |
2) значно менше |
J |
n |
, а тому i момент iнерцiї |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
системи змiнюється мало. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вiдповiдь: v2 |
= 1.05 (c−1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тема 6.Всесвiтнє тяжiння
Основнi формули.
Сила гравiтацiйного притягання між двома точковими масами m1 і m2 , що знаходяться на вiдстанi r
F = G m1 m2 r2 .
Прискорення вiльного падiння на висотi h над поверхнею
Землi:
g = G |
MЗ |
, |
|
(R + h)2 |
|||
|
|
де G -гравiтацiйна постiйна ; Мз і R -маса i радiус Землi. Вага тiла на широтi ϕ
Pϕ = P0 1− ω2 R cos2 ϕ) g0 ,
де P0 -сила тяжiння, напрямлена до центра Землi, ω -кутова
швидкiсть обертання Землi навколо своєї осi. Третiй закон Кеплера:
T12 = R13
T22 R23 ,
де T1 і T2 -перiоди обертання планет навколо Сонця, R1 і R2
великi пiввiсi їх орбiт.
Перша космiчна швидкiсть бiля поверхнi Землi:
V1 = 
g R ≈ 8 км / с ,
де g -прискорення вiльного падiння ; R -радiус Землi. Друга космiчна швидкiсть:
V2 = 
2 g R ≈11км / с .
Третя космiчна швидкiсть:
V3 |
= |
|
2 G Mθ |
|
|
|
rЗ |
, |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
де Mθ -маса Сонця; rЗ -радиус земної орбiти.