Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Пусть необходимо перевести число N_(p), заданное в системе счисления с основаниемр, в его представлениеN_(q)в системе счисления с основаниемq.

Существуют общие правила перевода:

• для перевода целой части числа используется правило последовательного деления;

• для перевода дробной части используется правило последовательного умножения.

Правило перевода целой части — правило последовательного деления:

Для перевода целой части числа N_(p)с основаниемрв целое числоN_(q)с основаниемqнеобходимо последовательно делить целую часть числаN_(p)и получаемые частные на основание новой системы счисленияq, представленное в системе счисленияр, до тех пор пока частное не станет меньшеq. 2. Старшей цифрой записи числаN_(q)служит последнее частное, а следующие за ней цифры являются остатками от деления частичных частных, записанными в порядке обратном их получения.

Пример 3.Преобразовать десятичное число 142₍₁₀₎в двоичное, восьмеричное и шестнадцатеричное числа:

2-я с.с.	Частичное частное	Остаток	8-я с.с.	Частичное частное	Остаток	16-я с.с.	Частичное частное	Остаток
142:2 =	71	0	142:8 =	17	6	142:16 =	8	14  Е
71:2 =	35	1	17:8 =	2	1
35:2 =	17	1
17:2 =	8	1
8:2 =	4	0
4:2 =	2	0
2:2 =	1	0
142(10) = 10001110(2)			142(10) = 216(8)			142(10) = 8Е(16)

Стрелками показывается порядок записи цифр в новой системе счисления.

Для шестнадцатеричной системы счисления цифры 10,11,12,13,14,15обозначаются соответственно латинскими буквамиA,B,C,D,E, F (см. табл. 2).

Правило перевода дробной части — правило последовательного умножения:

Для перевода дробной части числа N_(p)с основаниемрв дробное числоN_(q)с основаниемqнеобходимо последовательно умножать исходную дробную часть числаN_(p)и получаемые частные дробные части произведений на основание новой системы счисленияq, представленное в системе счисленияр. Количество умножений определяется заданной точностью. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр представления дроби в системе счисления с основаниемq.

Пример 4.Преобразовать десятичную дробь 0.378₍₁₀₎в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

2-я с.с.	Частное произведение	Целая часть	8-я с.с.	Частное произведение	Целая часть	16-я с.с.	Частное произведение	Целая часть
0.3782 =	0.756	0	0.3788 =	3.024	3	0.37816 =	6.048	6
0.7562 =	1.512	1	0.0248 =	0.192	0	0.04816 =	0.768	0
0.5122 =	1.024	1	0.1928 =	1.536	1	0.76816 =	12.288	12С
0.0242 =	0.048	0	0.5368 =	4.288	4	0.28816 =	4.608	4
0.0482 =	0.096	0	0.2888 =	2.304	2
0.0962 =	0.192	0
0.1922 =	0.384	0
0.3842 =	0.768	0
0.7682 =	1.536	1
0.378(10) = 0.011000001(2)			0.378(10) = 0.30142(8)			0.378(10) = 0.60С4(16)

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную системуочень прост:достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).При этом незначащие нули слева от целой части числа, и справа от дробной части отбрасываются.

Пример 5.Перевести в двоичную систему счисления следующие восьмеричные и шестнадцатеричные числа:

8-я с.с.	Триады				16-я с.с.	Тетрады
237.4(8) =	010	011	111.	100	1А3.F8(16) =	0001	1010	0011.	1111	1000
										
	2	3	7	4		1	А	3	F	8
Результат:	10011111.1(2)				Результат:	110100011.11111(2)

Перевод двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системыосуществляется также просто:двоичное число разбивается вправо и влево от точки, отделяющей целую часть от дробной, на триады (для восьмеричной системы счисления) или тетрады (для шестнадцатеричной системы счисления).При необходимости крайнюю левую триаду (тетраду) целой части и крайнюю правую (дробной части) дополняют нулями, а затем каждую триаду (тетраду) заменяют восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример 6.Представить в восьмеричном и шестнадцатеричном виде следующее двоичное число 10101011111101.1101001₍₂₎.

	Направление разбиения целой части на триады 								Направление разбиения дробной части на триады 
Исходное число	(0)10	101		011		111		101.	110	100		1(00)
												
Цифры 8 с.с.	2	5		3		7		5	6	4		4
Результат:	25375.644(8)
	Направление разбиения целой части на тетрады 								Направление разбиения дробной части на тетрады 
Исходное число	(00)10		1010		1111		1101.		1101		001(0)
											
Цифры 16 с.с.	2		A		F		D		D		2
Результат:	2AFD.D2(16)

Перевод двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления осуществляется по формуле (1) (см. пример 2).