2) Знайти числові характеристики вибіркової сукупності:

2.1) R, , (відповідно розмах варіант вибірки, мода і медіана інтервального статистичного розподілу вибірки);

2.2) перейти від інтервального статистичного розподілу до дискретного, варіантами якого є середини частинних інтервалів, та обчислити , , S², , V, , (відповідно: вибіркова середня величина (середня арифметична варіант вибірки), дисперсія вибірки та виправлена дисперсія, середнє квадратичне відхилення вибірки, коефіцієнт варіації, асиметрія і ексцес);

3) визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознакa Х – зріст юнака; при рівні значущості =0,05 перевірити правильність висунутої нульової гіпотези;

4) при заданій надійності =0,99 побудувати довірчий інтервал для ознаки Х генеральної сукупності при відомому значенні _Г і нормальному розподілі генеральної сукупності.

Розв’язання.

1) Розмах варіант вибірки: =186-154=32см.

На підставі вибіркових даних складемо інтервальний ряд:

Таблиця 1

h=4 cм	154—158	158—162	162—166	166—170	170—174	174—178	178—182	182—186
ni	8	14	20	32	12	8	4	2

2.1) Для визначення моди інтервального статистичного розподілу знаходимо з Таблиці 1 модальний інтервал і застосуємо формулу:

де початок модального інтервалу;

довжина часткового інтервалу;

частота модального інтервалу;

частота домодального інтервалу;

частота післямодального інтервалу.

.

Для обчислення медіани побудуємо спочатку кумуляту – емпіричну функцію розподілу , яка визначає відносну частоту події ”Значення варіанти менше від х”. Застосуємо Таблицю 1, ураховуючи, що об’єм досліджуваної сукупності дорівнює 100:

Медіану обчислюємо за формулою:

де початок медіанного інтервалу;

довжина частинного інтервалу.

.

см.

2.2) Для обчислення інших числових характеристик переходимо від інтервального статистичного розподілу до дискретного, варіанами якого є середини частинних інтервалів:

Таблиця 2

xi	156	160	164	168	172	176	180	184
ni	8	14	20	32	12	8	4	2

см. Виправлена дисперсія:

см

Для порівняння оцінок варіацій статистичних рядів із різними значеннями , які не дорівнюють нулеві, вводиться коефіцієнт варіації: .

Коефіцієнт асиметрії: Ексцес: . Тут центральний емпіричний момент го порядку обчислюється за формулою:

3) Визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознакa Х – зріст юнака; при рівні значущості =0,05 перевірити правильність висунутої нульової гіпотези.

Для знайденого статистичного розподілу (Таблиця 1) побудуємо гістограму частот

Рис.1

Таблиця 1

h=4 cм	154—158	158—162	162—166	166—170	170—174	174—178	178—182	182—186
ni	8	14	20	32	12	8	4	2

За формою гістограми частот можемо припустити, що ознака Х має нормальний закон розподілу. Отже, висуваємо нульову гіпотезу Н₀: ознака Х має нормальний закон розподілу.

Для перевірки правильності Н₀ використаємо критерій узгодженості Пірсона.

Необхідно обчислити теоретичні частоти , за розрахованими в п.2 значеннями: та нтервальним розподілом з Таблиці 1.

Обчислення теоретичних частот (нормальний закон розподілу) наведено в Таблиці 3 ( Ф – функція Лапласа, табульована в Додатку 1).

Таблиця 3

xi	xi+1	ni
154	158	8	– 2,04	– 1,42	– 0,4793	– 0,4222	6
158	162	14	– 1,42	– 0,79	– 0,4222	– 0,2852	14
162	166	20	– 0,79	– 0,16	– 0,2852	– 0,0636	22
166	170	32	– 0,16	0,464	– 0,0636	0,1772	24
170	174	12	0,464	1,09	0,1772	0,3621	19
174	178	8	1,09	1,72	0,3621	0,4573	10
178	182	4	1,72	2,34	0,4573	0,4904	3
182	186	2	2,34	2,97	0,4904	0,4986	1

Тут n =100 – об’єм вибірки.

Обчислення спостережуваного значення наведено в Таблиці 4.

8	6	2	4	0,667
14	14	0	0	0
20	22	– 2	4	0,182
32	24	8	64	2,667
12	19	– 7	49	2,579
8	10	– 2	4	0,4
4	3	1	1	0,333
2	1	1	1	1

.

Знайдемо критичне значення критерію ( ) за таблицею густини розподілу (див. Додаток 2) за рівнем значущості та числом ступенів свободи k:

Критична область зображена на Рис.2

Рис.2

Висновок. Оскільки , немає підстав для відхилення нульової гіпотези Н₀ про нормальний закон розподілу ймовірностей ознаки Х.

4) при заданій надійності =0,99 знаходимо довірчий інтервал для ознаки Х генеральної сукупності при відомому значенні і нормальному розподілі генеральної сукупності.

За таблицею Додатка 1 значень функції Лапласа

Обчислюємо кінці довірчого інтервалу:

Отже, довірчий інтервал для середнього значення зросту буде таким:

Звідси можна стверджувати, що з надійністю .