8. Підпростори векторного простору

Означення. Непорожня підмножина векторного просторуназиваєтьсяпідпростором простору , якщо воно є векторним простором відносно операцій, визначених в.

Це означає, що множина задовольняє аксіомам векторного простору, якщо додавати його елементи і множити їх на числа з поля(над яким заданий векторний простір) так, як це визначено для елементів простору.

Теорема (критерій підпростору). Непорожня підмножина векторного просторує підпростором просторуоді і тільки тоді, коли виконується наступні умови:

1. Якщо , то;

2. Якщо ,то.

Кожний підпростір будь-якого векторного простору саме по собі є векторним простором. тому всі поняття, які були введені для просторів (розмірність, базис та ін.) розповсюджуються і на підпростори.

Теорема (про розмірність підпростору). Розмірність будь-якого підпростору векторного простору не більше розмірності простору.

Приклади підпросторів.

1) Множина , яка містить тільки нульовий елементє підпростором будь-якого векторного простору. Його називаютьнульовим підпростором. В нульовому підпросторі нема лінійно незалежних систем векторів. Його базис – порожня множина. Його розмірність вважають нульовою.

2) Будь-який векторний простір є своїм підпростором.

Нульовий підпростір і сам простірзвичайно називаютьневласними підпросторами.

3) В арифметичному числовому векторному просторі множина,, векторів виглядує підпростором.

4) Векторний простір многочленів з коефіцієнтами з поля є підпростором векторного простору функцій, неперервних на відрізку, якщо многочлени вважати заданими на відрізку.

5) У векторному просторі геометричних векторів підпросторами будуть вусі площини і всі прямі, що проходять через початок координат.

6) Лінійні оболонки є цікавим прикладом підпростору. Нехай – довільна система векторів простору. Множина всіх векторів, які є лінійними комбінаціями векторів системи є підпростором простору , який позначаєтьсяі називається лінійною оболонкою векторів, або підпростором, натягнутим на вектори.