4. Базис і розмірність векторного простору

Означення. Базисом векторного простору називається така впорядкована система векторів, що

1) вона лінійно незалежна;

2) кожен вектор просторулінійно виражається через вектори цієї системи, тобто.

Означення. Векторний простір називається-вимірним, якщо в ньому існує базис з елементів. Числоназиваєтьсярозмірністю простору і позначається . Простір скінченної розмірності називається скінченновимірним. Простір, в якому можна знайти будь-яке число лінійно незалежних векторів називається нескінченновимірним.

Отже, розмірність векторного простору – це максимальне число лінійно незалежних векторів цього простору.

Теорема (про зв'язок між базисом і розмірністю). Система векторів утворює в просторірозмірностібазис тоді і тільки тоді, коли вона лінійно незалежна, а число векторів в ній дорівнює розмірності простору.

5. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом. Для того, щоб вектори з векторного простору можна було б задавати за допомогою чисел і зводити операції над векторами до операцій над числами, вводиться поняття координат вектора.

Нехай – деякий базис векторного простору. Тоді будь-який векторможна подати у вигляді (1):, де– деякі дійсні числа, причому єдиним чином. В цьому випадку вираз (1) називається розкладом вектораза базисом.

Означення. Коефіцієнти розкладу (1) називаються координатами вектора в даному базисі. Упорядкований набір координат вектора називається його координатним рядком і позначається :

.

Таким чином, базис дає змогу кожен вектор однозначно зобразити рядком чисел – координат цього вектора. Це зображення дозволяє виконувати над векторами лінійні операції за правилами лінійних операцій над матрицями-рядками: якщо ів деякому базисі, то

,

.

Разом із координатними рядками можна розглядати координатні стовпці , отримані транспонуванням-матриці.

6. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (загальна теорія)

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь

(3)

з матрицею

і розширеною матрицею

.

Систему (3) можна записати у вигляді

(4)

Згадаємо, що розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3) називається впорядкований набір з чиселтакий, що після заміни невідомихчисламикожне з рівнянь системи (3) перетворюється на тотожність. Система, що має хоча б один розв’язок, називаєтьсясумісною, а якщо система не має жодного розв’язку, вона називається несумісною. Дві системи з одними ф тими самими невідомими, які мають одну й ту саму множину розв’язків, називаються рівносильними (еквівалентними).

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (3) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матрицісистеми.

Слар сумісна .

Якщо для заданої системи виконується рівність , то цю систему називають системою рангу.

Нехай система (3) сумісна і її ранг дорівнює .

Означення. Базисними рівняннями називаються рівняння системи, яким відповідають базисних рядків матрицісистеми.Базисною підсистемою називається підсистема всіх базисних рівнянь системи.

Теорема (про сумісну систему). Сумісна система лінійних алгебраїчних рівнянь еквівалентна будь-якій своїй базисній підсистемі.

Нехай для системи (3) базисну підсистему утворюють перші рівнянь, тобто базисною є підсистема

(5)

Очевидно, що ранг системи не перебільшує числа невідомих, тобто завжди виконується нерівність . Звідси випливає

Теорема (про число розв’язків системи) 1. Якщо ранг сумісної системи дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.