4. Характеристичний та мінімальний многочлени матриці

Нехай – квадратна матриця порядкунад полем.

Означення. Характеристичною матрицею матриці називається матриця

із змінною , яка набуває будь-які числові значення.

Означення. Характеристичним многочленом матриці називається визначник характеристичної матриці:

,

який являє собою многочлен від змінної степеня. Корені характеристичного многочлена називаються характеристичними коренями абохарактеристичними числами матриці .

В довільний многочлен замість змінноїможна підставити квадратну матрицюпорядку .

Означення. Якщо для заданої квадратної матриці порядку , тоназиваєтьсяматричним коренем многочлена , а многочленназиваєтьсямногочленом, що анулюється матрицею .

Має місце теорема.

Теорема (Гамільтона-Келі). Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.

Означення. Мінімальним многочленом матриці над полемназивається нормований многочленнайменшого степеня, що анулюється матрицею.

Теорема (про анулюючий многочлен). Будь-який многочлен, що анулюється матрицею , ділиться без остачі на мінімальний многочлен матриці. Зокрема, характеристичний многочлен матриціділиться без остачі на мінімальний многочлен матриці.

Наслідок. Будь-який корінь мінімального многочлена матриці є її характеристичним коренем.

Коренями мінімального многочлена є всі різні корені характеристичного многочлена причому, якщо

,

то

,

де ,.

Існують наступні способи побудови мінімального многочлена:

1. Для побудови мінімального многочлена матриці для кожногохарактеристичного кореня ,, складають матрицю і підносять її до степенів доти, поки не буде виконана рівність,де – ранг матриці ;– порядок матриці;– кратність характеристичного кореняматриці. Найменше натуральне число, при якому виконується рівність, дає кратністькореняв мінімальному многочленіматриці .

2. За теоремою про анулюючий многочлен мінімальним многочленом може бути один з многочленів – дільників характеристичного многочлена. Треба перевірити, які з цих многочленів є анулюючими і вибрати з них многочлен мінімального степеня.

5. Мінімальний многочлен вектора відносно матриці

Нехай – квадратна матриця порядкунад полем,.

Означення. Мінімальним многочленом вектора відносно матриці називається нормований многочленнайменшого степеня, для якого.

Для побудови мінімального многочлена вектора відносно матриці розглянемо послідовність векторів . На кожному кроцібудемо перевіряти, чи є система отриманих векторів лінійно незалежною. В силу скінченновимірності просторузнайдеться таке ціле число,, що векторибудуть лінійно незалежні, а векторбуде лінійною комбінацією цих векторів з коефіцієнтами з поля. Інакше кажучи, знайдуться коефіцієнти, не всі рівні нулю, що виконається співвідношення. Цьому співвідношенню відповідає многочлен

,

який залежить від матриці та вектора.

6. Власний, інваріантний та циклічний підпростори лінійного оператора

Нехай лінійний оператор у векторному просторінад полеммає в деякому базисі матрицю.

Означення. Власним вектором оператора називається такий ненульовий вектор, який цим оператором переводиться в пропорційний йому вектор, тобто, де– деяке число з поля, яке називаєтьсявласним значенням оператора .

Теорема. Власними значеннями лінійного оператора , який діє у векторному просторі над полем є характеристичні корені цього оператора, які належать полю.

Для знаходження всіх власних значень оператора з матрицеютреба знайти всі характеристичні числа матриціі з них вибрати тільки ті, які належать полю. Для знаходження всіх власних векторів оператораз матрицеюдля кожного власного значеннятреба знайти всі ненульові розв’язки системи.

Теорема. Множина власних векторів лінійного оператора, які відповідають власному значенню, разом з нульовим вектором утворює лінійний підпростір векторного простору .

Означення. Власним підпростором, що відповідає власному значенню оператора називається підпростір , утворений власними векторами, які відповідають власному значенню .

За означенням . Якщо операторвзаданому базисі має матрицю , то.

Власний підпростір є окремим випадком інваріантного підпростору лінійного оператора .

Означення. Інваріантним підпростором лінійного оператора називається такий підпростір, що образом кожного вектора зє вектор, який знову належить, тобто .

Означення. Циклічним підпростором лінійного оператора називається інваріантний підпростір з базисом виду . Вектор називаєтьсятвірним вектором циклічного підпростору.

Мінімальний многочлен такого підпростору має степінь , оскільки векториобов’язково будуть лінійно залежними.