Практичне заняття № 2 Тема:Лінійні оператори в векторних просторах

Мета заняття: Засвоїти поняття лінійного оператора в векторному просторі над полем, методи виконання дій з лінійними операторами і їх матрицями, побудови характеристичного та мінімального многочленів матриці, мінімального многочлена вектора відносно матриці, інваріантного та циклічного підпросторів лінійного оператора.

Короткі теоретичні відомості

1. Лінійні оператори і матриці лінійних операторів

Нехай – векторний простір над полем

Означення. Лінійним оператором у векторному просторі називається відображення таке, що виконані наступні умови (умови лінійності):

1) ;

2) .

Найпростіші властивості лінійного оператора:

1) Образом нуль-вектора є нуль-вектор: .

2) Образом вектора, протилежного довільному вектору є вектор, протилежний образу вектора:

3) Образом лінійної комбінації довільних векторів просторує лінійна комбінація (з тими ж коефіцієнтами) образів цих векторів:

Теорема. Нехай – лінійний оператор у векторному просторі,– базис в. Тоді лінійний оператороднозначно визначається заданням образіввекторів базису.

Нехай у векторному просторі заданий деякий базис.

Означення. Матрицею лінійного оператора в базисіназивається матриця

,

елементами якої є коефіцієнти в розкладі образів векторівза базисом, тобто

;

;

………………………………………..

.

З означення випливає, що стовпцями матриці є координатні рядки векторів,, в базисі.

У координатному вигляді дія лінійного оператора на вектор зводиться до множення матриці лінійного операторана координатний стовпчик вектора:

.

Ясно, що матриця оператора залежить від вибору базису простору.

2. Дії з лінійними операторами зводяться до відповідних дій з матрицями лінійних операторів.

3. Детермінант мтариці.

Означення. Оберненим оператором до лінійного оператора називається лінійний оператортакий, що.

Матриця оператора , який має обернений, є квадратною невиродженою матрицею. Добуток квадратної матриці порядкуна матрицю-стовпець можна розглядати як операцію над вектором. Ця операція є лінійним перетворенням-вимірного векторного простору. Квадратна матриця називається оборотною, якщо згадане лінійне перетворення є взаємно однозначним.

Загальний критерій оборотності матриці формулюється за допомогою поняття визначника (детермінанта). Детермінант матриці над полемє елементом поля. Він є функцією всіх елементів матриці і позначається черезабо.

Теорема (критерій оборотності матриці). Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли.

Щоб визначити поняття детермінанту матриці порядку, введемо наступні поняття.

Нехай – скінченна множина зелементів.

Підстановкою порядку на множині зелементів називається взаємно однозначне відображення множинина себе.

Підстановку можна представити у вигляді дворядного запису: .

Очевидно, обернене перетворення має вигляд .

Підстановки утворюють групу відносно операції композиції, яка позначається Порядок групи підстановокдорівнює.

Підстановку можна задати (представити) як матрицю.Існує ізоморфне відображення .Матриця вигляду , , називається матрицею підстановки, або підстановочною матрицею.

В підстановочній матриці порядкуелементи з індексамидорівнюють одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю.

Кожну підстановку можна представити у вигляді добуткудеяких спеціальних підстановок, як називаються циклами, причому циклипопарно незалежні. Останнє означає, що підстановкиі, при, діють на підмножинах підстановки, що не перерізаються, якщо не брати до уваги елементи, що залишаються нерухомими.

Нехай и– підстановка степеня, причому.

Означення. Підстановка називається-членнимциклом, якщо вона не переміщає елементів, а її дію на ті елементи, що залишилися,можна представити у вигляді циклічної діаграми переходів: . У цій діаграмі допускається лише один перехід від елементу з більшим індексом до елементу з меншим індексом, а саме:.

Означення. Цикловою структурою підстановки називається запис виду, який означає, щорозкладається в добутокциклів довжини 1,циклів довжини 2, і так далі,циклів довжини.

Найбільш простим циклом, очевидно, є підстановка, яка переставляє місцями лише два елементи.

Означення. Цикл довжини 2 називається транспозицією.

Транспозиції не обов'язково є незалежними циклами.

Нехай – підстановка з , – будь-який її розклад в добуток транспозицій. Тоді число , яке називається знаком (або сигнатурою, або парністю ) повністю визначається підстановкоюі не залежить від способу розкладув добуток транспозицій.

Означення. Визначником матриці порядкунад полемназивається знакозмінна сума всіх членів визначника, що відповідають підстановкам групи:.

В розгорнутому вигляді формула для обчислення визначника матриці має вигляд:

.

Ця формула називається формулою повного розгортання визначника.

У деяких криптографічних застосуваннях виникає задача Лагранжа, яка полягає в знаходженні всіх розв’язків рівняння при заданих, тобто в знаходженні всіх спряжених підстановок. Розв’язки рівнянняможна отримати за допомогою «оператора Лагранжа».

Нехай , Розглянемо множинувсіх різних перестановок циклів, що входять до циклічного запису підстановки (включаючи цикли довжини 1). Маємо. Виписування окремого циклу можна здійснювати з довільного елемента циклу, тобто з довільним циклічним зсувом вліво, наприклад,.

Нехай – довільний циклічний зсуввліво. Тоді можна записатище у більшій кількості варіантів. Множину цих варіантів записуу видіпозначимо через.

Оператор Лагранжа задає множину розв’язківрівняння, що будуються наступним чином:

1) виписуємо одну довільну перестановку циклів з множини, під нею почергово записуємо перестановки циклівз, але такі, щоб над відповідним циклом довжиниз циклічного запису підстановкибув розташований цикл з циклічного запису підстановкитієї ж довжини;

2) будуємо чергову підстановку, забираючи дужки з запису циклів.