5. Анулюючі та мінімальні многочлени послідовностей

над полем

Означення. Анулюючим многочленом послідовності , називається такий многочленнад полем, що, де– нульова послідовність.

Означення. Мінімальним многочленом послідовності , називається нормований анулюючий многочлен найменшого степеня.

Мінімальним многочленом рекурентної послідовності над полем є многочлен

,

який є мінімальним многочленом матриці , оскільки вона для цього многочлену є супроводжуючою. За побудовою, для кожного тактуроботи РЗЛЗЗ він задає співвідношення

,

_або

, де .

Початковий стан рекуренти складається з елементів.

Приклад. Мінімальним многочленом рекурентної послідовності з рекурентним співвідношенням буде многочлен

або

.

Покажемо, що для нашої рекуренти існують інші рекурентні співвідношення.

Розглянемо многочлен виду і побудуємо для нього супроводжуючу матрицю, порядок якої дорівнює. Тоді коефіцієнти многочлена задають для деякої рекуренти співвідношення виду

або

.

Коефіцієнти можна легко отримати за правилами добутку многочленів , за якими набір коефіцієнтів многочлена зсувається на величину степеня кожного одночлену, що входить до, а потім ці зсуви видупідсумовуються. Таким чином, вектор коефіцієнтів дорівнює сумі деяких таких зсувів.

Многочлени виду називаються похідними, або покриваючими многочленами рекурентної послідовності з мінімальним многочленом .

Застосуємо до нашої рекуренти рекурентне співвідношення з коефіцієнтами. Рекурента задовольняє співвідношенню для довільного зсуву, а це значить, що вона буде задовольняти рекурентне співвідношення з коефіцієнтами .

Нехай тепер задані дві рекурентні послідовності з відомими рекурентними співвідношеннями (мінімальними многочленами ,) і початковими станамиі, розмірності яких задовольняють умову.

Рекурентне співвідношення для суми цих рекурент задають коефіцієнти многочлена , тому що цей многочлен є покриваючим для кожної з рекурент. Тому довжина (розмірність) початкового станудорівнює.

Якщо ми продовжимо і , за відповідними рекурентними законами добітів, то отримаємо послідовностіі, з яких отримаємо.

6. Існування тричленних похідних співвідношень

Як нам відомо, для того, щоб послідовність векторів , , мала максимальний період, слід вибирати мінімальний многочленпримітивним многочленом степенянад полем. Тому будемо вважати многочленпримітивним.

У цьому випадку послідовність , припробігає всі ненульові двійкові вектори, тобто довільний вектордорівнює векторупри деякому.

Виберемо в матриці , рядками якої є рекурентидва ненульових нерівних вектори,і обчислимо вектор. За попереднім, існує ціле, таке, що.

При цьому

,,

звідки

і .

Таким чином, для нашої рекуренти виконується тричленне співвідношення

.

7. Знаходження покриваючого співвідношення для лінійної рекуренти методом Гаусса

Нехай довжина рекурентної послідовності з мінімальним многочленом дорівнює або , або, дебільше довжини регістру. Нехай, тобто відповідноабо. Складемо матрицюз елементів послідовностіз наступними номерами:

.

Двійкова матриця для випадкумаєрядків. Аналогічно, для випадкукількість рядків дорівнює. Таким чином, шаблон для рекурентного співвідношення вкладається у кожному рядку декілька разів.

Матриця має розмірність або, або. Тому її стовпці лінійно залежні. Таким чином, система рівняньмає ненульовий розв’язокі ми доходимо до висновку, що довільний відрізок довжинипороджується РЗЛЗЗ довжиною не більше.

Розв’язок системи можна розглядати як шаблон для деякого перевірочного співвідношення, яке виконується для послідовності . Відповідний многочлен є анулюючим (покриваючим) для, тобто має ділитися на.

Приклад. Для послідовності =1100011011101 з мінімальним многочленом побудувати покриваючий многочлен методом Гаусса.

Розв'язання. Оскільки довжина рекурентної послідовності дорівнює ,, а, то двійкова матрицямає розмірність. Складемо матрицюз елементів послідовностіз наступними номерами:

тобто

Знайдемо ненульовий розв’язок системи рівнянь . Застосуємо метод Гаусса:

Невідомі – базисні, невідомі– вільні. Виразимо базисні невідомі через вільні:

Надамо вільним невідомим довільних значень, наприклад, . Будемо мати.

Переконаємося в тому, що отриманий задає шаблон перевірочного співвідношення для . Запишемо покриваючий многочлен

.

Перевіримо результат діленням на мінімальний многочлен . Поділимона:

.

Зауваження. Для знаходження мінімального многочлена цим методом необхідно перебирати довжину шуканого регістру та після відновлення многочленів перевіряти, чи відповідне рекурентне співвідношення виконується для всього відрізку послідовності. Для швидкого знаходження мінімального многочлена для відрізку довільної рекуренти існує спеціальний алгоритм (Берлекемпа-Мессі).