3. Запис станів двійкового регістру через супроводжуючу матрицю

Розглянемо матрицю , для якої елементи останнього стовпцяз номерамидорівнюють одиниці, а решта – нулі.

, ,.

Матриця називається супроводжуючою матрицею послідовності.

Матриця оборотна і

,

тобто

.

Звідки

і , .

Зокрема, якщо

,

то

,

де рекуренти додаються поелементно.

Приклад. Супроводжуюча матриця для розгортки РЗЛЗЗ з рекурентним співвідношенням має вид:

Точки знімання мають номери 0 і 2, тому в останньому стовпці елементи і, а решта – нулі.

Виразимо послідовність початкових станів 11000 10001 00011 00110 … через супроводжуючу матрицю:

;

;

;

……………………………………………………….

Стан регістру після -го такту роботи дорівнює

.

Матричний запис дозволяє записати одночасно послідовність станів для декількох початкових станів, тому що, наприклад, операції іможна записати як добуток матриць

.

Це дозволяє розглядати рекуренту з векторним початковим станом.

4. Вираз елементів рекуренти через початковий стан

Співвідношення дозволяє легко обчислити станпри дуже великих, оскільки існують ефективні методи обчислення степеня матриці.

Виявляється, що так само неважко визначити номери бітів з початкового стану , комбінація яких дає бітрекурентної послідовностіз номером.

Нехай ,, – рядки одиничної матриціпорядку. Розглянемо кожний рядок як початковий стан відповідної рекуренти.

Запишемо рекуренти як рядки деякої матриціі розглянемо її як послідовність векторів-стовпців. Послідовністьпідпорядковується тому ж самому рекурентному співвідношенню, що і. Початковий станстановлятьвекторів, що за побудовою є стовпцями матриці.

Координати наступного вектораможна отримати як останні біти станів, або одною матричною операцією: вибратиостанній стовпець з матриці . Таким чином,– першій, а– останній стовпець матриці. Наступний стовпецьбуде останнім стовпцем в матриці, першим стовпцем якої є, і так далі,.

У добутку матриць останній стовпець матрицідорівнює добутку матриціна останній стовпець матриці. Це означає, що сусідні стовпці матриціпов’язані співвідношенням

,

або

,

де – довільне ціле число, оскільки матрицяоборотна. Таким чином, ми легко можемо обчислити вектори. Назвемо стовпці матриці характеристичними векторами.

Нехай . Оскільки, то, тобтоє сумою рядків матриціз коефіцієнтами. В термінах стовпцівце означає, що біт рекуренти з номеромможна записати як, де– координати вектора. Номери цих координат, відмінні від нуля, вказують, сумою яких компонент початкового станує біт.

Приклад. Розглянемо одночасно послідовності станів регістра з рекурентним співвідношенням для початкових станів.

Нехай ,, – рядки одиничної матриціпорядку. Розглянемо кожний рядок як початковий стан відповідної рекуренти.

Перший крок (перехід від початкового стану до стану з номером) дає

тобто .

Другий крок (перехід від стану до стану) дає

тобто і так далі.

Тепер треба сумістити стани, щоб отримати рекурентних послідовностей, які підписані одна під одною

Маємо 5 початкових станів (рядки матриці ), далі 5 станів після кроку 1 (рядки матриці) і 5 станів після кроку 2 (рядки матриці).

Суміщаємо стани з перших рядків: 1000010, з других рядків: 0100001 і так далі. Але це теж саме, що суміщати сусідні матриці, бо останні 4 стовпчики попередньої матриці і перші 4 стовпчики наступної матриці співпадають, тобто маємо:

.

Розгорнемо матрицю до кінця періоду. У цієї матриці стовпці з номерами 0-4 утворюють матрицю, стовпці з номерами 1-5 утворюють матрицю, стовпці з номерами 2-6 утворюють матрицюі т.д. Таким чином, матриці, що перетинаються по 4-х стовпцях мають вид,і їхні останні стовпці розташовані поруч. Але за правилами множення матриць з рівностівипливає, що останній стовпець матрицідорівнює добутку матриціна останній стовпець матриці, тобто, ,і так далі.

Оскільки – обротна, то цей закон виконується для довільних цілих, зокрема,,. Таким чином, ми можемо швидко обчислитине розгортаючи рекуренту

Згадаємо, що поелементна сума рекурент, які задовольняють одне й теж саме рекурентне співвідношення, є рекурентою, що також задовольняє це співвідношення з початковим станом, що дорівнює сумі початкових станів рекурент-доданків.

Нехай – довільний початковий стан, який для нашого прикладу матиме вид.

Розглянемо добуток , який дорівнює лінійній комбінації рядків матриціз коефіцієнтами. За попереднім, послідовність– рекурента, початковий стан якої є, а біт з номеромє добутком. Оскільки ми легко можемо побудувати, то ми знаємо номери ненульових координат цього вектора, а це дає нам змогу вказати номери елементів початкового стану, сума яких дорівнює біту з номером, не знаючи ні початкового стану, ні значення біту з номером.