7. Оцінки параметрів біноміального розподілу

У цього розподілу два параметри: (число випробувань) і(ймовірність успіху в одному випробуванні). Часто зустрічається ситуація, коливідоме, аневідоме, тобто відоме число випробувань, але не відома ймовірність успіху в одному випробуванні.

Для цього розподілу

Точковою оцінкою параметрає

.

Особливо важливий окремий випадок, коли , в цьому випадку отримуємо. Коли,або(успіх або невдача), томудорівнюватиме числу успіхів. Якщо позначити цю суму або число успіхів через, отримаємо:

.

Оцінка є незміщеною оцінкою параметра.

Приклад. Спортсмен вистрілив у ціль 20 разів, а влучив 15 разів. Визначити ймовірність влучення при одному пострілі.

Розв’язання: .

Знайдемо довірчий інтервал, який покриває невідомий параметр з надійністю. Відомо, що біноміальний розподіл може бути наближений за допомогою нормального розподілу. Якщо оцінювана ймовірність не дуже мала і не дуже велика (), то можна вважати, що розподіл випадкової величиниблизький до нормального. Цим допущенням можна користуватися, якщоібільше 4. Виберемо при заданій надійностічисла,(нижню і верхню межу довірчого інтервала) так, щоб виконувалися нерівностіі. Тоді ймовірність попадання значенняв інтервал (,) буде дорівнювати. Для практичного знаходження довірчих інтервалів з надійністюіпривід 1 до 30, а також приіможна скористатися наперед складеними таблицями, які можна знайти в довідниках з математичної статистики.

При великих об'ємах вибірки можна обійтися наближеною побудовою довірчого інтервалу. Скористаємося формулою ймовірності відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних випробуваннях

.

Позначимо і, за допомогою таблиці значень функції Лапласа, розв’яжемо рівняння. З набутого значеннязнайдемо. Тоді,. Щоб отримати довірчий інтервал, треба виконати ще ряд перетворень, в результаті чого при великому об'ємі вибірки наближене значення для довірчого інтервалу має вид.

.

Приклад. При 20 пострілах спортсмен влучив у ціль 15 разів. Із надійністю побудувати довірчий інтервал довірчий інтервал для ймовірності влучення при одному пострілі.

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу необхідно знати: ,,. З умови задачі маємо:. Точкова оцінка ймовірності влучення знайдена в попередньому прикладі і дорівнює

.

Величина обчислюється з рівняння

.

за таблицею значень функції Лапласа.

Знайдемо числові значення кінців довірчого інтервалу:

;

.

Таким чином, маємо:

.

Отже, з надійністю 0,95 (95% гарантії) інтервал покриває оцінюваний параметр.

8. Оцінки параметрів нормального розподілу

У цього розподілу два параметри: математичне сподівання і дисперсія. Оцінкамиіпараметрівіє

, .

Величина є незміщеною, спроможною і ефективною оцінкою математичногосподівання, тому її значення приймаємо за точкову оцінку значення математичного сподівання.

8.1 Довірчий інтервал для математичного сподівання при відомій дисперсії

Будемо вважати, що дисперсія відома, тоді вибіркове середнє– нормально розподілена випадкова величина з параметрами. Для такої випадкової величини ймовірність попадання на симетричний відносно математичного сподівання інтервал виражається через функцію Лапласа

,

де . При заданій надійностірівнянняможна розв’язати наближено за допомогою таблиці значень функції Лапласа.

Якщо точного значення в таблиці значень немає, то потрібно знайти два найближчих до нього значення, одне більше, а інше менше, ніж, і знайти їх середнє арифметичне. Відоме значення параметрадозволяє записати абсолютну похибку. Тепер можна вказати симетричний інтервал. Отримане співвідношення означає, що довірчий інтервалпокриває невідомий параметр(математичне сподівання ) зймовірністю (надійністю) , а точність оцінки.

При фіксованому об'ємі вибірки з оцінки виходить, що чим більше довірчаймовірність, тим ширше межі довірчого інтервалу (тим більше помилка в оцінці математичного сподівання). Щоб знизити помилку в оцінці значення, можна збільшити об'єм вибірки. При цьому, щоб знизити відносну похибку на порядок, необхідно збільшити об'єм вибірки на два порядки.

Приклад 1. За даними спостережень випадкової величини знайти довірчий інтервал для математичного сподіванняз надійністю, якщо відома дисперсія. Вибірка представлена таблицею.

Інтервали	(10;20)	(20;30)	(30;40)	(40;50)
Середини інтервалів	15	25	35	45
частоти	10	45	30	15	100

Розв’язання. Знайдемо об'єм вибірки, для чого підсумуємо вказані в таблиці частоти: . Середнє вибіркове значення обчислимо за формулою

.

За заданою надійністю знайдемо, за допомогою таблиці, параметр:, звідки,. Отримаємо довірчий інтервал для математичного сподівання

.

Проведемо обчислення і остаточно запишемо

.

Таким чином, інтервал покриває параметрз надійністюпри відомій дисперсії.