- •Лекція № 10 Тема: Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей
- •1. Біноміальний розподіл ймовірностей
- •1.1. Розподіл Бернуллі
- •2. Рівномірний розподіл
- •2.1 Рівномірний дискретний розподіл
- •2.2 Рівномірний неперервний розподіл
- •3. Нормальний розподіл ймовірностей
- •4. Нормальне наближення
- •5. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •1) Розподіл 2 (хі-квадрат)
- •2) Розподіл Стьюдента (-розподіл)
- •6. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин
- •7. Оцінки параметрів біноміального розподілу
- •8. Оцінки параметрів нормального розподілу
- •8.1 Довірчий інтервал для математичного сподівання при відомій дисперсії
- •8.2 Довірчий інтервал для математичного сподівання при невідомій дисперсії
- •8.3. Довірчий інтервал для дисперсії при відомому математичному сподіванні
- •8.4. Довірчий інтервал для дисперсії при невідомому математичному сподіванні
- •8.5. Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення
2. Рівномірний розподіл
2.1 Рівномірний дискретний розподіл
Означення. Дискретна випадкова величина називаєтьсярівномірно розподіленою, якщо вона набуває значеньз ймовірностями ,.
Закон розподілу:
1 |
2 |
3 |
... | ||
... |
Функція розподілу:
Числові характеристики:
, .
2.2 Рівномірний неперервний розподіл
Означення. Неперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку, якщо її щільність ймовірності є сталою наі дорівнює 0 поза ним:
Графік функції має вид:
Рівномірний розподіл виникає в експериментах, у яких навмання ставиться точка на відрізку (випадкова величина– абсциса поставленої точки), а також в експериментах по вимірюванню тих чи інших фізичних величин з округленням (випадкова величина– помилка округлення). Наприклад:– час чекання на зупинці автобуса:розподілена рівномірно на відрізку, де– інтервал руху автобусів. Інший приклад:– помилка при зважуванні предмета, яка отримана від округлення результату зважування до найближчого цілого числа; у цьому випадку випадкова величинамає рівномірний розподіл на відрізку, де за одиницю прийнята ціна розподілу шкали.
Функція розподілу:
Числові характеристики:
, ,.
3. Нормальний розподіл ймовірностей
Означення. Неперервна випадкова величина називається розподіленою за нормальним законом (законом Гаусса) з параметрамиі, де,, якщо її щільність ймовірності має вигляд:
,
Нормальний розподіл було відкрито в 1733 році А. Муавром, а потім докладно вивчено П. Лапласом і К. Гауссом.
Позначається нормальний розподіл .
Якщо випадкова величина розподілена за нормальним закономз параметрами 0 і 1, то вона називається нормованою або стандартною нормальною випадковою величиною. Щільність стандартного нормального розподілу є функцією Гаусса:
.
Зауваження. Для значень функції Гаусса існують детальні таблиці.
Значення функції Гаусса можна обчислити
а) в Excel за формулою =НОРМРАСП(х; 0;1;ЛОЖЬ).
а) в Mathcad за формулою dnorm(x,0,1).
Графік щільності нормального розподілу називається нормальною кривою (кривою Гаусса) і має наступний симетричний вигляд, схожий на дзвін; залежний від різних значень параметра :
Максимальна висота дзвону досягається при та дорівнює
,
При збільшенні параметра вершина дзвону буде опускатися, але зате будуть підніматися краї (тому що загальна площа між графіком і віссюповинна залишитися рівною 1). Що стосується параметра, то його значення не впливає на форму графіка; зі зміноюграфік тільки зміщується в напрямку осі.
Нормальний закон – це закон розподілу, що найчастіше зустрічається на практиці. Він широко розповсюджений у природі, техніці виробництві, і т. ін.. Випадковими величинами з нормальним законом розподілу є, наприклад, погрішності вимірювань фізичних величин, та й самі результати вимірювань; координати точки падіння снаряда під час стрілянини з гармати при постійному прицілі й ін.
Функція розподілу:
.
Функція розподілу нормальної випадкової величини зв'язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:
.
Зауваження. Для значень функції розподілу нормальної випадкової величини існують детальні таблиці.
Значення функції цієї функції можна обчислити
а) в Excel за формулою =НОРМРАСП(х; 0;1;ИСТИНА)–0,5 або за формулою =НОРМСТРАСП(х)–0,5.
а) в Mathcad за формулою pnorm(x,0,1)–0,5.
Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуває значень з деякого проміжку
.
Якщо покласти ,, то
,
тобто подія є практично достовірною. Це означає, що практично всі можливі значення нормально розподіленої випадкової величини розташовані на проміжку. Останнє твердження називають "правилом трьох сигм".
Числові характеристики нормального розподілу збігаються з його параметрами:
, ,.
Нормальний розподіл має широке розповсюдження в прикладних задачах. Це пов’язано з тим, що багато з випадкових величин, які досліджуються, є наслідками різних випадкових подій. Зокрема, при достатньо загальних припущеннях сума великого числа незалежних випадкових величин має розподіл, близький до нормального.