5. Розподіли, пов’язані з нормальним

За допомогою нормального розподілу визначаються три розподіли, які часто використовуються при статистичній обробці даних. Це розподіли Пірсона ("хі-квадрат"), Стьюдента і Фишера.

1) Розподіл 2 (хі-квадрат)

Якщо кожна з незалежних випадкових величин ,, характеризується стандартним нормальним законом розподілу ймовірностей, то кажуть, що випадкова величинамає розподілізступенями свободи із щільністю ймовірностей

де – гамма-функція Ейлера.

(,,,, і взагалі,,– може бути нецілим числом:)

Функція розподілу:

Розподіл використовують при оцінюванні дисперсії (за допомогою довірчого інтервалу), при перевірці гіпотез узгодження, однорідності, незалежності, передусім для якісних змінних, що набувають скінченне число значень, і в багатьох інших задачах статистичного аналізу даних.

2) Розподіл Стьюдента (-розподіл)

Якщо випадкова величина має стандартний розподіл, а випадкова величина– розподілізступенями вільності, то величинахарактеризується розподілом Стьюдента:

, .

Функція розподілу:

.

-розподіл, як і розподіл , має велике значення в математичній статистиці.

6. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин

Нехай – спостережувана випадкова величина. Множина всіх можливих значень випадкової величининазивається генеральною сукупністю. Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називається множина випадковим чином відібраних з генеральної сукупності об’єктів. Об’ємом сукупності (генеральної або вибіркової) називається число об’єктів цієї сукупності.

Характеристики і параметри спостережуваної випадкової величини називають генеральними, а їх оцінки, отримані за вибіркою, – вибірковими (наприклад, генеральна дисперсія і вибіркова дисперсія). Звичайно вибіркову оцінку позначають тою ж самою буквою, що і оцінюваний параметр, але їз знаком ""

Нехай випадкова величина має функцію розподілу, яка залежить відневідомих параметрів(параметрів розподілу, яких на практиці буває не більше чотирьох)

Необхідно за вибіркою об’єму оцінити невідомі параметри.

Означення. Оцінкою параметра розподілу називається функція від вибірки:

Інакше кажучи, оцінка параметра – це його наближене значення, отримане за вибіркою.

Приклади оцінок.

Вибіркове середнє .

Вибіркова дисперсія .

Властивості оцінок.

1. Оцінка параметраназиваєтьсяспроможною, якщо для будь-якого

,

тобто при збільшенні об’єму вибірки () вона прямує до істинного значення параметра.

2. Оцінка параметраназиваєтьсянезміщеною (незміщена означає не зсунута відносно математичного сподівання), якщо

Незміщеність оцінки означає, що користуючись величиною замість, ми не будемо робити систематичної помилки у бік завищення або заниження.

3. Оцінка параметраназиваєтьсяефективною, якщо вона незміщена і у порівнянні з іншими оцінками має мінімальну дисперсію

Вибіркова дисперсія є спроможною і зміщеною оцінкою генеральної дисперсії . За незміщену оцінку генеральної дисперсії беруть так званувиправлену дисперсію

.

Існують наступні методи визначення точкових статистичних оцінок:

1) Метод умовних варіант.

2) Метод найменших квадратів

3) Метод моментів.

4) Метод максимальної правдоподібності.