Ю.Д.Жданова. Лекції з ВГПМ. М3 Вибрані глави ТЙіМС. Лекція № 10

Лекція № 10 Тема: Біноміальний, рівномірний і нормальний розподіл ймовірностей

План лекції:

1. Біноміальний розподіл ймовірностей.

2. Рівномірний розподіл ймовірностей.

3. Нормальний розподіл ймовірностей.

4. Нормальне наближення.

5. Розподіли, пов’язані з нормальним.

6. Оцінки параметрів розподілу випадкових величин.

7. Оцінки параметрів біноміального розподілу.

8. Оцінки параметрів нормального розподілу.

1. Біноміальний розподіл ймовірностей

Припустимо, що проводиться серія незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з однією і тією ж, але невідомою нам ймовірністю. Причому ймовірність появи подіїв кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань. Такі випробування називаються незалежними відносно події. Нехай проведенонезалежних випробувань. Випадкова величина– число появ події(появу події називають «успіхом») в цій серії випробувань. Можливими значеннями цієї випадкової величини є цілі числа від 0 до. Ймовірності цих можливих значень визначаються за формулою Бернуллі. Закон розподілу такої випадкової величини називається біноміальним.

Означення. Дискретна випадкова величина називається розподіленою за біноміальним законом, якщо її можливими значеннямиє числа успіхівв схемі Бернуллі привипробуваннях, а ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі

,

(,).

Закон розподілу:

	0	1	...		...
			...		...

Звернемо увагу на те, що сума ймовірностей – це точно біном Ньютона

.

Цей факт і вплинув на назву випадкової величини, яка розглядається. Позначається біноміальний розподіл так: , деі– параметри біноміального розподілу.

Функція розподілу:

Числові характеристики:

, ,,.

Найімовірніше значення випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом задовольняє нерівність:

.

Приклад. На заліку студент отримав 4 задачі. Ймовірність правильно розв’язати кожну задачу . Випадкова величина– число правильно розв’язаних задач.

а) Знайти закон розподілу випадкової величини ;

б) побудувати функцію розподілу випадкової величини та її графік.

в) Знайти ,,.

Розв’язання. а) Можливі значення випадкової величини : 0,1,2,3,4. Оскільки можливими значеннями випадкової величиниє числа успіхівв схемі Бернуллі при 4 випробуваннях, то їх ймовірності знаходяться за формулою Бернуллі:

, ,.

;

;

;

;

.

Закон розподілу запишемо у вигляді таблиці:

	0	1	2	3	4
	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096	1

Перевірка умови нормування:

_{0,0016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1.}

Отже, випадкова величина має біноміальний розподіл.

б) Функція розподілу випадкової величини за означенням:

Компактно можна записати в такій формі:

Графік функції зображено на малюнку:

в) Знайдемо ,,.

;

;

.

1.1. Розподіл Бернуллі

Біноміальний розподіл з параметрамиіназиваєтьсярозподілом Бернуллі.

Числові характеристики:

, .

Розподіл Бернуллі відіграє фундаментальну роль в теорії ймовірностей і математичний статистиці, являючись математичною моделлю випробування з двома наслідками.

Якщо ,– незалежні випадкові величини з розподілом Бернуллі, тоді випадкова величинамає біноміальний розподіл.

Приклад. Нехай в партії деяких виробів якісні вироби зустрічаються з ймовірністю , а вироби з дефектом – з ймовірністю. Покладемо, якщо вибрали виріб якісний, і, якщо виріб з дефектом. Тоді «якість» виробів можна описати випадковою величиною, що має розподіл Бернуллі.