2. Образи і прообрази елементів і множин відносно відношень. Операції над відношеннями

Нехай між множинами і встановлено відношення . З кожним бінарним відношенням на множинах ізв’язані деякі множини.

Означення. Множина називається множиною відправлення, множина називається множиною прибуття відношення.

Означення. Множина перших компонент всіх пар, які входять до відношенняназиваєтьсяобластю визначення відношення . Множинадругих компонент всіх пар, які входять до відношенняназиваєтьсяобластю значень відношення .

Відношення між множинами і на діаграмі Ейлера-Венна:

Означення. Сукупність всіх тих , в які переходить даний елемент, називаєтьсяобразом елемента і позначається. Сукупність всіх тих, які переходять в даний елемент, називаєтьсяпрообразом елемента і позначається. Аналогічно визначаютьсяобраз множини іпрообраз множини .

Оскільки відношення – це множини, над ними можна виконувати всі теоретико-множинні операції: переріз, об’єднання, віднімання, доповнення. При цьому виконуються всі закони алгебри множин.

Для відношень має зміст операція обернення. Перехід від доздійснюється взаємною перестановкою компонент кожної пари, яка входить до відношення.

Означення. Нехай – бінарне відношення на множинахі.Відношенням, оберненим до відношення називається таке відношення , що тоді і тільки тоді, коли .

Якщо два відношення і застосувати послідовно, то можна знайти їх композицію, тобто побудувати нове відношення , при умові, що елементи області значень першого відношення є елементами області визначення другого відношення.

Означення. Композицією двох відношень і називається відношення , де

.

3. Властивості бінарних відношень

Нехай – бінарне відношення надовільній множині ().

Означення. Відношення називається рефлексивним, якщо воно завжди виконується між елементом і ним самим. ().

Приклад. Відношення нестрогої нерівності на множинах .

Означення. Відношення називається антирефлексивным, якщо воно не виконується для будь-якого елемента. ().

Приклад. Відношення строгої рівності на множинах .

Означення. Відношення називається симетричним, якщо для будь-яких елементів при виконанні виконується. ().

Приклад. Відношення рівності на множинах .

Означення. Відношення називається антисиметричним, якщо івиконуються одночасно тоді і тільки тоді, коли. ()

Приклад: Відношення нестрогої нерівності на числових множинах :

Означення. Відношення називається асиметричним, якщо для будь-яких елементів або або. ()

Приклад. Відношення строгої нерівності на числових множинах :

Означення. Відношення називається транзитивним, якщо для будь-яких зівипливає. ()

Приклад. Відношення =, .

Наявність певної властивості легко прослідкувати за матрицею або за графом відношення.

4. Спеціальні бінарні відношення

Нехай , .

Означення. Відношенням еквівалентності називається бінарне відношення на множині , якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне, тобто:

1) ;

2) ;

3) .

Відношення еквівалентності є узагальненням відношення = на між числами або множинами.

Приклади:

1. Відношення рівності на будь-якій числовій множині.

2. Відношення ‘‘мати ту саму остачу від ділення на 7’’ на множині .

Означення. Класом еквівалентності елемента множини називається множина всіх елементів множини, які еквівалентні . Позначається .

.

Означення. Розбиттям непорожньої множини називається сукупність таких її непорожніх підмножин, які не перерізаються (), а в об’єднанні складають всю множину ().

Приклад. – розбиття універсуму.

Теорема. Сукупність всіх класів еквівалентності є розбиттям множини . Справедливе і обернене: Нехай– довільне розбиття множиниі для будь-яких елементівзадане бінарне відношенняналежать одному й тому ж класу розбиття. Тодіє відношеннямеквівалентності.

Означення. Множина всіх класів еквівалентності деякої множини , утворених за відношеннямеквівалентності , називається фактормножиною множини за даним відношеннямеквівалентності. Позначається .

З поняття рівності між числами випливає більш широке поняття відношення еквівалентності на множинах. За аналогією нерівності також можуть бути використані як моделі для більш широкого класу відношень – відношень порядку на множинах.

Означення. Відношенням нестрогого порядку називається бінарне відношення на множині , якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне, тобто:

1)

2) ;

3) .

Означення. Відношенням строгого порядку називається бінарне відношення на множині , якщо воно антирефлексивне, асиметричне і транзитивне, тобто

1)

2) ;

3) .

Означення. Множина , на якій задане відношення порядку, називаєтьсяцілком впорядкованою, якщо будь-які два елементи з знаходяться в цьому відношенні і частково впорядкованою в противному випадку.

Приклад: і– відношення нестрогого порядку для чисел; і – відношення строгого порядку. Обидва відношення цілком впорядковують множиниі.