ПЫТАННІ ДА экзамена

па дысцыпліне “Дыферэнцыяльная геаметрыя і тапалогія”

2011/2012 навучальны год

РАДЗЕЛ І

Частка 1. Крывыя

1. *Вектар-функцыя скалярнага аргумента.

2. Элементарныя крывыя.

3. Агульныя крывыя.

4. *Простыя крывыя.

5. Параметрычны спосаб задання элементарных крывых.

6. *Параметрычны спосаб задання агульных крывых.

7. *Гладкія (рэгулярныя) элементарныя крывыя. Эквiвалентныя параметрызацыi.

8. Яунае заданне плоскай крывой у дэкартавых каардынатах.

9. *Яунае заданне прасторавай крывой у дэкартавых каардынатах

10. Няяунае заданне плоскай крывой у дэкартавых каардынатах.

11. *Няяунае заданне прасторавай крывой у дэкартавых каардынатах

12. *Заданне крывых у недэкартавых каардынатах.

13. Датычная прамая крывой.

14. Нармаль плоскай крывой.

15. Нармальная плоскасць прасторавай крывой.

16. *Вугал паміж крывымі.

17. Даужыня дугi крывой.

18. Формулы для вылічэння даўжыні дугі.

19. *Натуральная параметрызацыя крывой.

20. *Судатыкальная плоскасць.

21. Суправаджальны трохграннiк прасторавай крывой.

22. *Формулы Фрэнэ.

23. Крывiзна i кручэнне крывой.

24. *Вылiчэнне крывiзны.

25. *Вылічэнне кручэння.

26. Крывізна і кручэнне акружнасці, графіка функцыі, шрубавай лініі.

27. Крывая нулявой крывiзны. Пункты спрамлення (выпроствання).

28. Крывая нулявого кручэння. Пункты сплашчэння.

29. *Натуральныя раўнанні. Асноуная тэарэма тэорыi крывых.

30. **Судатыканне крывых.

31. **Эвалюта і эвальвента.

Частка 2. Паверхні

32. Элементарная паверхня. Агульная паверхня. Простая паверхня.

33. Параметрычны спосаб задання элементарных паверхняў.

34. Яунае і няяунае заданні паверхняў ў дэкартавых каардынатах.

35. *Заданне паверхняў у недэкартавых каардынатах.

36. *Крывыя на паверхнях.

37. *Каардынатныя лініі параметрызаванай павверхні.

38. *Каардынатныя лініі параметрызаванай паўсферы.

39. Датычная плоскасць паверхні.

40. Нармаль паверхнi..

41. Першая квадратычная форма параметрызаваннай паверхні.

42. Яўны выгляд першай квадратычнай формы ва унутраных каардынатах.

43. Дыскрымінант першай квадратычнай формы.

44. Вылічэнне даужынi дугi крывой на паверхнi.

45. Вылічэнне вугла памiж крывымi на паверхнi.

46. *Вылічэнне плошчы абсягу на паверхнi.

47. Другая квадратычная форма параметрызаваннай паверхні.

48. Яўны выгляд другой квадратычнай формы ва унутраных каардынатах.

49. *Нармальная крывізна крывой на паверхнi.

50. *Нармальная крывiзна паверхнi.

51. *Амбілічныя і неамбілічныя пункты паверхні.

52. Галоўныя крывізны паверхні.

53. *Галоўныя напрамкi. Лініі крывізны.

54. Поўная (гаусава) і сярэдняя крывiзны паверхняў.

55. Класiфiкацыя пунктаў рэгулярных паверхняў.

56. *Асiмптатычныя лiнii.

57. Паверхні знаказменай поўнай крывізны.

58. Паверхні знакапастаянай поўнай крывізны.

59. Паверхнi пастаянай поўнай крывiзны.

60. *Асноуныя раўнаннi тэорыi паверхняў.

61. *Асноуная тэарэма тэорыi паверхняў (тэарэма Банэ).

62. Геадэзiчныя лiнii.

63. *Экстрымальныя уласцiвасцi геадэзiчных лiнiй.

64. *Формула Гауса-Банэ. Iнтэгральная крывiзна абсягу на паверхнi.

65. *Дэфект геадэзічнага трохвугольніка на паверхні.

66. *Мадэль Бельтрамi планiметрыi Лабачэўскага.

67. **Лінейчатыя паверхні.

68. **Паверхні вярчэння.

РАЗДЗЕЛ ІІ

Частка 3. Тапалагічныя прасторы

1. Паняцце метрычнай прасторы.

2. Шары і сферы ў метрычнай прасторы. Абмежаваныя мноствы.

3. Індуцыраваная метрыка. Падпрастора метрычнай прасторы.

4. Адкрытыя мноствы ў метрычнай прасторы. Натуральная тапалогія метрычнай прасторы.

5. Паняцце тапалагічнай прасторы. Параўнанне тапалогій.

6. Замкнутыя мноствы ў тапалагічнай прасторы.

7. Індуцыраваная тапалогія. Падпрастора тапалагічнай прасторы.

8. Пункты дакранання і вонкавыя пункты мноства.

9. Унутраныя пункты і гранічныя пункты дакранання.

10. Лімітавыя і ізаляваныя пункты дакранання.

11. *Замыканне мноства і замкнутае мноства. Унутранасць мноства і адкрытае мноства.

12. *Усюды шчыльныя і нідзе не шчыльныя мноствы. Сепарабельныя прасторы.

13. Непарыўныя адлюстраванні.

14. Гамеаморфныя адлюстраванні.

15. Гамеаморфныя прасторы.

16. Тапалагічныя ўласцівасці і інварыянты. Паняцце аб прадмеце тапалогіі.

17. Тапалагічная класіфікацыя. Поўная сістэма тапалагічных інварыянтаў.

18. База тапалогіі.

19. Другая аксіёма злічонасці.

20. Аксіёмы адзельнасці.

21. Хаусдорфавыя прасторы.

22. *Ліміт паслядоўснасці пунктаў тапалагічнай прасторы.

23. *Суадносіны паміж прасторамі розных тыпаў адзельнасці. Першая метрызацыйная тэарэма Урысона.

24. Звязныя і нязвязныя прасторы.

25. Звязныя і нязвязныя мноствы.

26. Уласцівасці звязных прастораў і мностваў.

27. *Кампаненты звязнасці прасторы. Кампаненты звязнасці мноства.

28. Лінейна-звязныя прасторы.

29. Лінейна-звязныя мноствы.

30. Звязнасць і лінейная звязнасць.

31. Кампактныя прасторы.

32. Кампактныя мноствы.

33. *Кампактнасць і замкнутасць.

34. *Кампактныя мноствы ў метрычных прасторах.

35. Кампактныя мноствы ў еўклідавых прасторах.

36. Уласцівасці кампактных прастораў і мностваў.

37. *Прамы здабытак прастораў.

38. *Праекцыі на каардынатныя прасторы.

39. *Тапалагічныя ўласцівасці здабыткаў прастораў.

40. *Фактар-тапалогія, пароджаная дачыненнем эквівалентнасці.

41. *Фактар-прасторы квадрата.

42. **Будова адкрытых і замкнутых мностваў на прамой. Кантарава дасканалае мноства.

43. **Гаматопіі і гаматапічныя інварыянты.

44. **Фундаментальная група тапалагічнай прасторы.

Частка 4. Мнагастайнасці

45. **Многообразия.

46. **Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика многообразия.

47. **Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия.

48. **Понятие о классификации компактных двумерных многообразий.

49. **Определение дифференцируемого (гладкого) многообразия

50. **Гладкие отображения

51. **Касательное пространство гладкого многообразия многообразия

Примечание. Вопросы повышенного уровня помечены символом *, углубленного – символом **.