ЭУМК_по_ДГ_и_Т / БЛОК 8 / БЛОК 8. Файл 4
.docxобразцы итоговых тестов базового уровня
Вариант 1
1.
Проверить, что кривая, заданная
параметрическими уравнениями x
= 3t3
–
2, y
= 2t2
–
6, z
= – t
+ 4, t
R,
проходит через точку М(– 2, – 6, 4) и
определить параметр t
этой точки. Вычислить кручение кривой
в точке М.
Ответ: 4,5.
-
Доказать что меридианы и параллели параметризованной сферы
в каждой точке их пересечения
перпендикулярны
3.
На множестве
задана топология
.
Найти совокупность
замкнутых в топологическом пространстве
(X,
)
множеств и выяснить, будет ли она
топологией на множестве X?
Указать компоненты связности пространства
(X,
).
Ответ:
– топология. Х – компонента связности.
-
Являются ли следующие множества компактными:
а)
в
R1;
б) R
x
R
в R2?
Ответ: а) да; б) нет.
Вариант 2
-
Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x = 3t3 – 2, y = – t2 + 6, z = –2 t – 4, t
R,
проходит через точку М(– 2, 6, – 4) и
определить параметр t
этой точки. Доказать, что точка М не
является точкой спрямления.
-
Написать уравнение нормали к параметризованному эллиптическому параболоиду
в точке Е(u
=
,
v
=
).
Ответ:
.
3.
На множестве
задана топология
.
Найти совокупность
замкнутых в топологическом пространстве
(X,
)
множеств и выяснить, будет ли она
топологией на множестве X?
Указать компоненты связности пространства
(X,
).
Ответ:
–
топология. {a,b}
и {c}
– компоненты связности.
-
Являются ли следующие множества компактными: а) [4;6) \ {5} в R1; б) {
}x{
}
в R2?
Ответ: а) нет; б) да.
Вариант 3
-
Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x = 4t3 – 2, y = 2t2 – 6, z = 3t – 4, t
R,
проходит через точку М(– 2, – 6, – 4) и
определить параметр t
этой точки. Доказать, что точка М не
является точкой уплощения.
-
Найти первую квадратичную форму параметризованного прямого геликоида
,
и с ее помощью вычислить длину дуги
координатной линии
v = 1, заключенной между ее точками S и T с координатами u = 2 и u = 3 соответственно.
Ответ:
3.
На множестве
задана топология
.
Найти совокупность
замкнутых в топологическом пространстве
(X,
)
множеств и выяснить, будет ли она
топологией на множестве X?
Указать компоненты связности пространства
(X,
).
Ответ:
–
топология. X
– компонента связности.
-
Являются ли следующие множества компактными: а)
в R1;
б) R
х Z
в R2
?
Ответ: а) да; б) нет.
Вариант 4
-
Проверить, что кривая, заданная параметрическими уравнениями x = 4t3 – 2, y= 3t2 – 4, z = 2t – 6, t
R,
проходит через точку М(– 2, – 4, – 6) и
определить параметр t
этой точки. Вычислить кривизну кривой
в точке М.
Ответ: 3.
-
Написать уравнение касательной плоскости к параметризованному гиперболическому цилиндру
в
точке В (u
= 1, v
= 0).
Ответ: х = 1.
-
На множестве
задана топология
.
Найти совокупность
замкнутых в топологическом пространстве
(X,
)
множеств и выяснить, будет ли она
топологией на множестве X?
Указать компоненты связности пространства
(X,
).
Ответ:
–
топология. {a,c}и
{b}
– компоненты связности.
-
Являются ли следующие множества компактными: а) (3;4)
{5}в
R1;
б) {0}x{–
;
}
в R2?
Ответ: а) нет; б) да.
Вариант 5
1.
Проверить, что кривая, заданная
параметрическими уравнениями x
= 4t3
+3,
y
= – 3t2
+
4, z
= 2t
+ 5, t
R,
проходит через точку М(3, 4, 5) и определить
параметр t
этой точки. Вычислить кручение кривой
в точке М.
Ответ: 24.
-
Найти угол между координатными линиями параметризованного кругового конуса
в
произвольной его точке.
Ответ:
.
3.
На множестве
задана топология
.
Найти совокупность
замкнутых в топологическом пространстве
(X,
)
множеств и выяснить, будет ли она
топологией на множестве X?
Указать компоненты связности пространства
(X,
).
Ответ:
–
топология. Х – компонента связности.
-
Являются ли следующие множества компактными: а)
в
R1;
б) R
x
N
в R2?
Ответ: а) да; б) нет.