редактированные / 9-15

9. Градиент скалярной функции. Связь между напряженностью электростатического поля и его потенциалом: математическая запись и физический смысл для однородного и неоднородного полей; применение для расчета полей. Уравнение Пуассона

Градиент температуры:

Определение градиента:

Вычисление в декартовых координатах :

Напряженность поля и потенциал

Однородное электрическое поле

Неоднородное электрическое поле

;

=

Физический смысл:

Напряженность электростатического поля направлена так же, как и максимальная скорость убывания потенциала, а по модулю равна модулю этой максимальной скорости

Графическая интерпретация:

Силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям

Уравнение Пуассона div ; =

; - Уравнение Пуассона

10. Проводники и диэлектрики. Электростатическая индукция в проводниках: физическая сущность явления; равновесное распределение напряженности электростатического поля и плотности электрических зарядов в объеме и на поверхности проводников.

Проводники –вещества, которые содержат свободные заряженные частицы. Эти частицы могут перемещаться в пределах всего проводящего тела .

Диэлектрики –вещества, которые содержат заряженные частицы в составе атомов и молекул. Эти частицы могут смещаться в пределах, сравнимых с размерами атомов и молекул

Электростатическое поле внутри проводника

Внутри проводника:

из условия равновесия заряженных частиц: на основании теоремы Гаусса: из соотношения: Электростатический генератор Ван де Граафа , 1931. Принцип действия – полный перенос электрического заряда с внутренней поверхности проводящей сферы на внешнюю

Электростатическое поле вблизи поверхности проводника .Вблизи поверхности проводника силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Применяем теорему Гаусса:

Распределение электрического заряда по поверхности проводника

Потенциал проводящего заряженного шара:

Внутри проводника ,.

Потенциал проводящего шара не зависит от того, как распределен заряд в нем, поскольку весь заряд находится на поверхности шара на одинаковом расстоянии от центра

Потенциалы двух соединенных шаров равны:

Поверхностная плотность электрического заряда и напряженность поля вблизи поверхности проводника обратно пропорциональны радиусу кривизны поверхности в данной точке.

Давление электростатических сил на поверхность проводника

Внутри проводника: .Вблизи поверхности проводника:

На элемент dS действует сила: .

11. Электрическая емкость: емкостные коэффициенты; электрическая емкость конденсатора и уединенного проводника; расчет электрической емкости на примерах плоского конденсатора и уединенного проводящего шара. Системы конденсаторов.

Емкостные коэффициенты

Система жестких, неподвижных проводящих заряженных тел:

Заряды тел и их потенциалы: ,.

Емкостные коэффициенты: .

Электрическая емкость электрического конденсатора

Конденсатор – система двух жестких, неподвижных проводящих тел, которые называются обкладками

Электрическая емкость плоского конденсатора

Размеры обкладок значительно больше расстояния между ними:

Между обкладками плоского конденсатора – поле однородное, а по обе стороны от них – отсутствует: ,

Последовательное соединение конденсаторов

Схема последовательного соединения:

, ,

Паралельное соединение конденсаторов

, ,

12. Поляризация диэлектриков: физическая сущность явления; поляризационные (связанные) заряды; поляризованность (вектор поляризации); связь вектора поляризации с поверхностной и объемной плотностью связанных зарядов.

Определение:

Поляризация диэлектрика – это явление, которое заключается в появлении связанных электрических зарядов в объеме и на поверхности диэлектрика под действием внешнего электростатического поля

-- объемная плотность связанных зарядов

-поверхностная плотность связанных зарядов

Поляризованность (вектор поляризации)

Определение:

Поляризованность – локальная векторная характеристика степени поляризации диэлектрика

Модуль поляризованности равен дипольному моменту единицы объема диэлектрика

Связь между поляризованностью и плотностью связанных зарядов

Поверхностные связанные заряды:

,

Связь между поляризованностью и плотностью связанных зарядов

Объемные связанные заряды:

.По теореме Остроградского

13. Вектор электрического смещения. Электростатическая теорема Гаусса для вектора электрического смещения: интегральная и дифференциальная формы; применение для расчета электрических полей в диэлектриках; диэлектрическая восприимчивость и относительная диэлектрическая проницаемость вещества.

Напряженность электрического поля в диэлектрике явл суперпозицией напряженности электрического поля сторонних зарядов электрического поля связанных зарядов :

.

В неоднородной диэлектрической среде  имеет различные значения, изменяясь на границах диэлектриков скачкообразно (претерпевая разрыв). Это затрудняет применение формул, описывающих взаимодействие зарядов в вакууме. Что касается теоремы Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл. В самом деле, благодаря различной поляризуемости разнородных диэлектриков напряженности поля в них будут различными. Поэтому различно и число силовых линий в каждом диэлектрике (рис.14.6).

Часть линий, исходящих из зарядов, окруженных замкнутой поверхностью, будет заканчиваться на границе раздела диэлектриков и не пронижет данную поверхность. Это затруднение можно устранить, введя в рассмотрение новую физическую характеристику поля – вектор электрического смещения

(14.8)

Вектор  направлен в ту же сторону, что и  . В отличие от напряженности поля  вектор  имеет постоянное значение во всех диэлектриках. Поэтому электрическое поле в неоднородной диэлектрической среде удобнее характеризовать не напряженностью  , а смещением  . С этой целью вводится понятие линий вектора  и потока смещения, аналогично понятию силовых линий и потока напряженности

или

(14.9)

Используя теорему Гаусса

домножим обе части на 

С учетом (14.8) получаем

(14.10)

Это уравнение выражает теорему Гаусса для вектора электрического смещения: полный поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключенных в этой поверхности.

  

Для векторного поля  справедлива интегральная форма теоремы Гаусса:

     

и, соответственно, дифференциальная форма теоремы Гаусса:            где  - объемная плотность свободных зарядов.

 Величина, характеризующая способность диэлектриков к поляризации. Количественно Д. в. — коэффициент пропорциональности χ в соотношении P = χЕ, где Е — напряжённость электрического поля, P — поляризация диэлектрика (дипольный момент единицы объёма диэлектрика). Д. в. характеризует диэлектрические свойства вещества так же, как и Диэлектрическая проницаемость ε, с которой она связана соотношением: ε = 1 + 4πχ.

14. Потенциальная энергия взаимодействия электрических зарядов: система точечных зарядов; система заряженных проводников; энергия заряженного конденсатора.

По принципу суперпозиции полей потенциал системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке каждым зарядом в отдельности. Это очевидно, так как:

Е = Е1 + Е2 = – grad1 – grad2 = – grad (1 + 2).

Следовательно, потенциал 0 поля, создаваемого системой точечных зарядов qi, равен

0(r) = , (7.3)

где ri – длина радиус-вектора, проведенного от i-го заряда к точке поля с координатами r{x,y,z}.

Потенциал поля проводящей сферы.

 Поскольку напряженность электрического поля проводящей сферы определяется (вне сферы) таким же выражением, что и напряженность поля точечного заряда, то зависимость потенциала от расстояния r от центра сферы до данной точки будет равна: (r) = . Так как электрическое поле внутри проводящей сферы равно нулю, то при r  R потенциал постоянен и равен потенциалу поверхности сферы:

(r  R) = , где R – радиус сферы.

Энергия заряженного конденсатора

Если на обкладках конденсатора электроемкостью С находятся электрические заряды +q и -q, то согласно формуле (20.1) напряжение между обкладками конденсатора равно

В процессе разрядки конденсатора напряжение между его обкладками убывает прямо пропорционально заряду q от первоначального значения U до 0.

Среднее значение напряжения в процессе разрядки равно

Для работы А, совершаемой электрическим полем при разрядке конденсатора, будем иметь:

Следовательно, потенциальная энергия W_p конденсатора электроемкостью С, заряженного до напряжения U, равна

Энергия конденсатора обусловлена тем, что электрическое поле между его обкладками обладает энергией. Напряженность Е поля пропорциональна напряжению U, поэтому энергия электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности.

15. Объемная плотность энергии электрического поля. Механические силы в электростатическом поле: метод виртуальных перемещений; давление электростатических сил.

Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна  . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеем

С учетом, что  и 

(16.4)

или

(16.5)

На границе двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями , и при наличии внешнего поля возникают поляризационные заряды разного знака с различными поверхностными плотностями зарядов и (рис.14.7).

Дополнительное поле, создаваемое этими зарядами, перпендикулярно поверхности, поэтому нормальные составляющие полей , и в обеих средах у границы раздела различны, а касательный составляющие одинаковы, т.е.

(14.11)

Векторы электростатического смещения в обеих средах соответственно равны

и (14.12)

Аналогично рассмотренному выше случаю границы диэлектрик - вакуум нормальная составляющая вектора на границе двух диэлектриков а отсюда следует, что

Из этого выражения следует, что в случае и линии вектора при переходе через границу раздела преломляются, отклоняясь от перпендикуляра к границе раздела. Из (14.11) и (14.12) следует, что

При и

При переходе через границу раздела из диэлектрика с меньшим значением в диэлектрик с большим значением , нормальная составляющая вектора остается неизменной, а касательная увеличивается, так что линии вектора преломляются под таким же углом как и линии напряженности поля (рис. 14.8).

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков изменяется не только вектор напряженности электрического поля , но и вектор . Однако поток вектора через произвольную площадку на границе раздела, равный по определению , с обеих сторон поверхности на основании остается неизменным. Следовательно, число линий вектора электрического смещения, переходящих через границу, не меняется. Поэтому теорема Гаусса остается справедливой для вектора в самом общем случае при наличии в поле диэлектриков любой формы и размеров.