редактированные / Magnetizm

47.Самоиндукция: физическая сущность явления; индуктивность проводящего контура, электродвижущая сила самоиндукции, расчет индуктивности на примере бесконечно длинного соленоида. Электрические машины: электрический двигатель и электрический генератор постоянного тока.

Самоиндукция — это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре [1]при изменении протекающего через контур тока.При изменении тока в контуре пропорционально меняется[2] и магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром[3]. Изменение этого магнитного потока, в силу закона электромагнитной индукции, приводит к возбуждению в этом контуре индуктивной ЭДС.

Это явление и называется самоиндукцией. (Понятие родственно понятию взаимоиндукции, являясь как бы его частным случаем). Направление ЭДС самоиндукции всегда оказывается таким, что при возрастании тока в цепи ЭДС самоиндукции препятствует этому возрастанию (направлена против тока), а при убывании тока — убыванию (сонаправлена с током). Этим свойством ЭДС самоиндукции сходна с силой инерции.

Величина ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока :

Коэффициент пропорциональности L называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура (катушки)

Закон самоиндукции: ЭДС самоиндукции в проводящем контуре прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур и обусловленного наличием тока в контуре:

Если при изменении тока в контуре индуктивность L контура остается постоянной, то выражение, определяющее закон самоиндукции, будет иметь вид:

Если два контура расположить близко друг к другу, то наблюдается взаимоиндукция- явление возникновения ЭДС индукции в одном из контуров, при изменении силы тока в другом:

Где – ЭДС, возникающие во втором и в первом контурах соответственно. Коэффициенты пропорциональности называются взаимной индуктивностью контуров и в отсутствие ферромагнетиков равны между собой. Устройство, применяемое для понижения или повышения напряжения переменного тока, называется трансформатором, представляющим собой замкнутый магнитопровод(ферромагнитный сердечник), на который намотано две катушки. Принцип действия трансформатора основан на явлении взаимной индукции.

49.Объемная плотность энергии магнитного поля. Механические силы в стационарном магнитном поле: метод виртуальных перемещений; давление магнитных сил.

Плотность энергии магнитного поля – количество магнитной энергии в единице объема соленоида:

Где H=InI=

Итак:

Аналогично

Механические силы в стационарном магнитном поле

Пусть существует система из n магнитносвязанных электрических цепей, в которых протекают постоянные токи. Пусть одна из цепей перемещается в направлении оси х на величину dx. При перемещении цепи будет выполнена механическая работа:

где  Fx - сила, действующая на цепь в направлении х

Вследствие перемещения цепи произойдет изменение магнитного поля системы: .

  Изменение потокосцепления каждой цепи Ψk вызовет появление напряжения на ее зажимах: , при этом в системе будет выполнена дополнительная электрическая работа: 

В соответствии с законом сохранения энергии составим баланс энергий: ,  или , откуда следует, что, , т. е. составляющая силы, действующей на электрическую цепь в произвольном направлении равна производной от энергии магнитного поля в этом же направлении.

Составляющие силы, действующей на электрическую цепь в направлении осей координат x, y, z:

   .;

Результирующая сила направлена в сторону наибольшего возрастания энергии магнитного поля.

Так как по условию токи цепей постоянны, то и энергия собственного магнитного поля, равная  тоже постоянна, а изменяется только взаимная энергия системы Wвз и, следовательно, сила .

Если система состоит только из двух магнитносвязанных цепей, то энергия магнитного поля будет равна:

.

  Тогда получим:

В измерительных приборах электродинамической системы вращающий момент, действующий на подвижную систему прибора, будет равен:

,

т.е. вращающий момент пропорционален скорости изменения взаимной индуктивности М при повороте подвижной системы прибора.

50. Переходные процессы в цепи с постоянной ЭДС и емкостью: временные зависимости токов и напряжений при зарядке и разрядке конденсатора; постоянная времени электрической цепи с емкостью

Рассмотрим процесс подключения последовательной R-C цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 5 а)).

В отличие от индуктивности, емкость после накопления заряда может длительное время сохранять его. Поэтому начальное значение напряжения на емкости U₀ может быть произвольным и иметь произвольный знак по отношению к ЭДС источника.

Установившееся значение напряжения на емкости после замыкания ключа S всегда будет равно E, т.к. на постоянном токе в установившемся режиме du_C/dt = 0 и i = Cdu_C/dt = 0, а u_C = u  Ri = E  Ri = E. Поэтому из выражения (8) напряжение на емкости в общем виде будет равно

uC = uу + uс= E + Ue t/ .

(9)

Пусть напряжение на емкости до коммутации было u_C(0 ) =  U₀ (знак + соответствует полярности напряжения на рис. 5 а) без скобок). Тогда из (9) для момента времени непосредственно после замыкания ключа найдем постоянную U

,

а затем и выражение для напряжения на емкости в виде

(10)

где  = RC - постоянная времени переходного процесса.

Отсюда можно найти ток в цепи и падение напряжения на резисторе

(11)

На рис. 5 б)-г) приведены временные диаграммы переходного процесса подключения R-C цепи к источнику постоянной ЭДС для трех вариантов начальных значений напряжения на емкости: 1) E > U₀ > 0 ; 2) E < U₀ и U₀ > 0; 3) U₀ < 0 Во всех случаях напряжение на емкости монотонно по экспоненте изменяется отU₀ до E. В то время как ток и напряжение на резисторе в момент коммутации скачкообразно изменяются на величину пропорциональную разности или сумме E и U₀, а затем монотонно уменьшаются до нуля. При этом, если E < U₀, то ток и падение напряжения на R отрицательны, т.е. происходит разряд емкости.

Полный разряд емкости происходит при отсутствии внешних источников энергии (рис. 1 а)). После переключения ключа S вся энергия накопленная в электрическом поле емкости C преобразуется в тепло в резисторе R.

Напряжение на емкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую

u_C = u_с= Ue ^t/

и если цепь достаточно длительное время была подключена к источнику, то в момент переключения напряжение на емкости будет равно E. Поэтому постоянная U будет равна

u_C(0 ) = E = u_C(0₊) = U,

а напряжение на емкости в переходном процессе -

uC = Ee t/ .

(12)

Отсюда ток в цепи и напряжение на резисторе

(13)

51.Переходные процессы в цепи с постоянной ЭДС и индуктивностью: временные зависимости токов и напряжений при нарастании и спаде тока в катушке индуктивности; постоянная времени электрической цепи с индуктивностью

Рассмотрим подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 1 а)).

Установившийся ток в этой цепи будет определяться только ЭДС E и резистивным сопротивлением R, т.к. после окончания переходного процесса i = const и u_L = Ldi/dt = 0, т.е. i_у = E/R .

Полный ток в переходном процессе из выражения (1)

.

Для определения постоянной I найдем начальное тока. До замыкания ключа ток очевидно был нулевым, а т.к. подключаемая цепь содержит индуктивность, ток в которой не может измениться скачкообразно, то в первый момент после коммутации ток останется нулевым. Отсюда

Подставляя найденное значение постоянной I в выражение для тока, получим

(2)

Из этого выражения можно определить падения напряжения на резисторе u_R и индуктивности u_L

(3)

Из выражений (1)-(3) следует, что ток в цепи нарастает по экспоненте с постоянной времени  = L/R от нулевого до значения E/R (рис. 1 б)). Падение напряжения на сопротивлении u_R повторяет кривую тока в измененном масштабе. Напряжение на индуктивности u_L в момент коммутации скачкообразно возрастает от нуля до E , а затем снижается до нуля по экспоненте (рис. 1 б)).

Подставляя выражения (3) в уравнение Кирхгофа для цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени

52. Свободные незатухающие электромагнитные колебания в параллельном контуре: взаимные превращения энергии электрических и магнитных полей; уравнение незатухающих колебаний, период собственных незатухающих колебаний в контур

Колебательный контур-это электрическая цепь, состоящая из емкости С и катушки индуктивности L, в которой обкладки конденсатора замкнуты катушкой индуктивности.

Дифференциально е уравнение свободных незатухающих колебаний имеет вид:

(1)

где- собственная циклическая частота контура, - вторая производная заряда по времени.

Решением дифференциального уравнения (1) является функция

Где -максимальное значение заряда на обкладках конденсатора, - фаза колебаний, -начальная фаза. Значение собственной частоты колебаний определяется свойствами самого контура, а значения и -начальными условиями. Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по закону:

(3) , где

С учетом определения силы тока, функция зависимости силы тока в катушке будет иметь вид:

, или) (4)

Т.о, при свободных незатухающих колебаниях ток в катушке опережает по фазе напряжение на конденсаторе на . Значение собственной циклической частоты колебаний в контуре определяется выражением: (5)

Cучетом выражения период свободных колебаний в идеальном колебательном контуре будет определятся формулой Томсона: (6)

53. Свободные затухающие электромагнитные колебания в параллельном контуре: коэффициент затухания и добротность контура; уравнение затухающих колебаний; период собственных затухающих колебаний в контуре, критическое затухание

Колебательный контур-это электрическая цепь, состоящая из емкости С и катушки индуктивности L, в которой обкладки конденсатора замкнуты катушкой индуктивности.Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание проводов. При таких условиях свободные электромагнитные колебания будут затухающими.

Дифференциальное уравнение затухающих свободных колебаний имеет вид:

(1), где-коэффициент затухания. При решением уравнения является функция:

Где ω

Величину принято называть периодом затухающих колебаний. При незначительном затухании() период затухающих колебаний практически равен периоду свободных незатухающих колебаний.

Время релаксации τ-время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Коэффициент затухания β связан с временем релаксации соотношением:

(3)

Логарифмический декремент затухания λ определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через интервал времени, равный периоду колебаний T:

(4),

Где α- амплитуда соответствующей физической величины(q,U,I)

Если – количество колебаний за время релаксации, то логарифмическийдекремен затухания можно выразить иначе:

(5)

Добротность колебательного контура характерезует“эффективность” рассеяния энергии контура при наличии в нем активного сопротивления. Эта величина определяется из оcотношения:

(6)

Вынужденные колебания-незатухающие колебания, возникающие в R,L,C – цепи под дейстивем внешнего переодическиизменяющегося напряжения:

(7)

Где -амплитудное значение напряжения, -циклическая частота напряжения.

54. Активное сопротивление, емкость и индуктивность в цепи синусоидального переменного тока: временные зависимости мгновенных значений сил тока, напряжений и мощностей; активные и реактивных сопротивления, сдвиги фаз, активные мощности.

Сопротивление:

Если напряжение  подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

(1)

   Анализ выражения (1) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.          Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид

 (2)

      где    и     - комплексные  амплитуды  тока и напряжения.       Комплексному уравнению (2) соответствует векторная диаграмма (рис. 6.4).

     Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению.      Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением.                                Рис.6.4       Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.

Емкость в цепи синусоидального тока

     Если к конденсатору емкостью C подключить синусоидальное напряжение, то в цепи протекает синусоидальный ток

(1)

   Из анализа выражений (1) следует, что ток опережает напряжение по фазе на 90^o.

      Выражение (6.13) в комплексной форме записи имеет вид:

(2)

       где  - емкостное сопротивление, фиктивная расчетная величина, имеющая размерность сопротивления.

        Если комплексное сопротивление индуктивности положительно.

, то комплексное сопротивление емкости отрицательно

^o.