6 Глава 2. Отображения, их предел и непрерывность.

Определение 5. Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке, которая принадлежит этому пространству.

Таким образом согласно определению 5 и критерию Коши существования предела последовательности точек пространства Rn, следует, что Rn полное.

Пример 1. Рассмотрим X = Rnf0g. Покажем, что оно не является полным. Действительно, последовательность xn = n1 ,

n = 1; 2; : : : является фундаментальной в данном пространстве, и lim 1 = 0, но 0 не принадлежит X = Rnf0g, следова-

n!1 n

тельно X неполное.

§2.4. Предел и непрерывность отображения.

2.4.1.Предел отображения.

Будем рассматривать отображение f : X ! Rm, где X Rn. Возможны случаи:

Если m = n = 1, то f функция одной переменной;

Если m = 1; n > 1, то f функция многих переменных;

Если m > 1; n = 1, то f вектор функция;

Если m > 1; n > 1, то f отображение.

Запись y = f(x) подразумевает, что x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; ym), f = (f1; f2; : : : ; fm). Отметим, что функции yi = fi(x), i = 1; m от n переменных называют координатными функциями отображения f. Расстояния в метрических пространствах Rn и Rm, будем обозначать соответственно:

где x; a 2 Rn, y; b 2 Rm.

Отображение f : X ! Rm, где X Rn называется ограниченным на X, если f(X) Rm ограниченно в Rm. Пусть f : X ! Rm, где X Rn, a предельная точка множества X.

Определение 1. Точка b 2 Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любого " > 0 существует > 0

Определение 2. Точка b 2 Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любой окрестности U(b)

Приведенные определения являются определениями предела отображения по Коши. Сформулируем определение предела по Гейне.

Определение 3. Точка b 2 Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любой последовательности

n o

x(k) 2 Xnfag, k = 1; 2; : : : сходящейся к точке a, последовательность f x(k) сходится к точке b.

Эквивалентность определений 1 и 2 доказывается аналогично случаю функции одной переменной.

Теорема 3. Точка b = (b1; : : : ; bm) является пределом отображения f : X ! Rm, X Rn при x ! a тогда и только тогда, когда

Доказательство. Справедливость теоремы непосредственно следует из неравенств

p

8" > 0 9V_ (a) : 8x0; x00 2 V_ (a) ) m f(x0); f(x00) < ":

Теорема 4 представляет собой критерий Коши существования предела отображения. Доказательство теоремы дословно повторяет доказательство критерия Коши для функции одной переменной, если вместо jf(x0) f(x00)j писать

m f(x0); f(x00) .

Теорема 5. Если отображение f : X ! Rm, где X Rn имеет предел в точке a, то:

1)предел единственный;

2)отображение f ограниченно в некоторой проколотой окрестности V_ (a) точки a в множестве X.

Теорема 6. Пусть f : X ! Rm, g : X ! Rm, где X Rn, и существуют пределы lim f(x) = b, lim g(x) = c. Тогда

x!a x!a

существуют пределы:

1) lim f(x) g(x) = b c;

x!a

2) lim f(x) g(x) = b c,

x!a

где f g, b c есть сумма и разность векторов; f g, b c скалярное произведение векторов.

Доказательство.

1) Поскольку существуют пределы lim f(x) = b, lim g(x) = c, то можно записать:

существуют пределы:

Замечание 1. Заметим, что в начале мы говорим, что существуют пределы отображений f и g, а только после этого можем говорить о существовании предела f g и f g.

Замечание 2. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функций одной переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми.

8 Глава 2. Отображения, их предел и непрерывность.

2.4.2. Предел по направлению.

Определение 4. Точка b 2 Rm называется пределом отображения f : X ! Rm, X Rn по множеству E X в точке a, если

8" > 0 9 > 0 : 8x 2 E; 0 < n(x; a) < ) m f(x); b < "

и обозначается

lim f(x) = b:

x!a;x2E

Определение 5. Пусть E = fx 2 Rnj x = a + !t; jwj = 1; a; ! 2 Rn; t > 0g. Предел

lim f(x) = lim f(a + wt);

x!a;x2E t!+0

если он существует, называется пределом отображения f по направлению вектора !.

2.4.3. Повторные пределы.

Пусть f : X ! R, X Rn. Наряду с рассмотренными пределами у функции многих переменных существует понятие предела другого вида, связанное с последовательным переходом к пределу по различным координатам:

lim lim : : : lim f(x1; : : : ; xn) = A; (4.15)

где (i1; : : : ; in) некоторая перестановка чисел (1; 2; : : : ; n), a 2 Rn, и функция f определена в некоторой окрестности точки a.

Запись lim f(x1; : : : ; xn) = A означает, что у функции f фиксированы все значения координат xj, i 6= j ее аргумента

xi!ai

x, и тем самым указанный предел означает предел функции по множеству. Пределы вида (4.15) называют повторными пределами.

Замечание 3. Не следует думать, что указанным способом можно найти предел функции f в точке a. В этом убедимся на следующих примерах.

обращается внимание, то есть вместо y стоит константа, и в итоге получим некоторую функцию '(x) от которой найдем

предел по переменной x. Запись же lim f(x; y) означает, что одновременно стремятся к 0 переменные x, y, то есть

x!0 y!0

никакая из переменных не может быть фиксированной.

Однако предела в точке (0,0) не существует. Покажем это используя определение предела по Гейне. Рассмотрим два направления стремления к точке (0;0): биссектрисы 1 и 2 координатной четверти.

т.е. по двум различным направлениям пределы различны, что и означает не существование предела в точке (0;0).

2.4.4.1 Непрерывность отображения в точке. Пусть a предельная точка множества X Rn.

Определение 6. Отображение f : X ! Rm, X Rn называется непрерывным в точке a 2 X, если существует предел

lim f(x) = f(a).

x!a

Определение 7. Отображение f : X ! Rm, X Rn называется непрерывным в точке a 2 X, если

8" > 0 9 = (") > 0 : 8x 2 V (a; ) ) f(x) 2 U f(a); " :

Пусть a предельная точка множества E X:

Определение 8. Отображение f : X ! Rm, E X Rn называется непрерывным в точке a 2 E по множеству E,

если lim f(x) = f(a).

x!a; x2E

Если отображение f : V (a; ) ! Rm непрерывно в точке a = (a1; : : : ; an) Rn по множеству

\

E = fx 2 Rnj xi 2 R; xj = aj; j = 1; : : : ; i 1; i + 1; : : : ; ng V (a; );

то говорят, что эта функция непрерывна в точке a по переменной xi. Другими словами, функция f, определенная в некоторой -окрестности точки a, называется непрерывной в точке a по переменной xi, если функция одной переменной

'(xi) = f(a1; : : : ; ai 1; xi; ai+1; : : : ; an) непрерывна в точке ai.

Заметим из определения 6 и теоремы 3, что отображение f : X ! Rm, X Rn непрерывно в точке a 2 X тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывна каждая из его координатных функций fi; i = 1; m.

Теорема 8. Если отображение f : X ! Rm, X Rn непрерывно в точке a 2 X, то существует окрестность этой точки, в которой отображение f ограниченно.

Теорема 9. Пусть f : X ! Y; X Rn; Y Rm, g : Y ! Rs, b = f(a), c = g(b). Если отображение f непрерывно в точке a 2 X, отображение g непрерывно в точке b 2 Y , то их композиция ' = g f непрерывна в точке a.

Доказательство. Поскольку отображение g непрерывно в точке b 2 Y , то

8" > 0 9 > 0 : 8y 2 VY (b; ) ) g(y) 2 V (c; "):

Так как отображение f непрерывно в точке a 2 X, то

8 > 0 9 > 0 : 8x 2 VX(a; ) ) f(x) 2 VY (b; ):

Отсюда следует

8" > 0 9 > 0 : 8x 2 VX(a; ) ) '(x) = g f(x) 2 V '(a); " ;

Теорема 11. Если функции f : X ! R, g : X ! R, X Rn непрерывны в точке a 2 X, то f + g; f g, а если g(x) 6= 0; 8x 2 X, то и f=g определены на множестве X и непрерывны в точке a.

Если отображение f : X ! Rm, X Rn непрерывно в каждой точке множества X, то говорят, что оно непрерывно на множестве X.

Теоремы 9-11 задают локальные свойства непрерывных отображений.