Tom_2

Например, область D , изображенную на рис. 3, можно разбить на сумму областей D1, D2 и D3 .

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле

§3. Тройной интеграл

10. Объем трехмерного тела. Понятие площади плоской фигуры легко переносится на понятие объема множества в пространстве. Отметим основные моменты теории, связанные с вычислением объема тела.

Телом будем называть любое ограниченное множество точек

пространства R3 . Под многогранным телом будем понимать объединение любого конечного числа ограниченных многогранников. Понятие объема многогранника известно из курса математики средней школы.

74

Верхним объемом V тела F называется точная нижняя грань множества объемов μ(Q) всех многогранных тел Q, содержащих F,

т.е. V = inf μ(Q) .

Нижним объемом V* тела F называется точная верхняя грань множества объемов μ(P) всех многогранных тел P, содержащихся в

F, т.е. V* = sup μ(P) .

Из определений следует, что для любого тела F выполняется

V* ≤ V .

Тело F называется кубируемым (имеющим объем), если

V* = V = V (F) . Число V (F) называется объемом тела F.

Объем тела является неотрицательным числом и обладает свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности, аналогичными свойствам площади плоского тела (см.§1). Введенное понятие объема называется мерой Жордана пространственного множества.

Упражнение 1. Сформулировать и доказать свойства объема пространственного множества.

20. Определение тройного интеграла и его свойства. Пусть в трехмерной декартовой системе координат задана кубируемая область V и на ней определена функция f (x, y, z) = f (P), P = (x; y; z) .

Разобьем область V произвольно на n частей Vi с объемами Vi . В каждой из частей Vi выберем любую точку Pi и найдем значение f (Pi ) функции f в этой точке.

n

Составим интегральную сумму å f (Pi ) Vi . Рассмотрим предел

i=1

этой суммы при условии, что наибольший диаметр λn частей Vi

стремится к нулю. Если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области V на части, то его значение называется

тройным интегралом от функции f (x, y, z) = f (P) по множеству V и

обозначается символами

В формуле (1) под символом dv понимается элемент объема, под символом dx ( dy , dz ) − элемент расстояния между точками

прямой, параллельной оси Ох (Оу, Оz). Таким образом dv = dxdydz .

75

Аналогично двумерному случаю для некоторого разбиения

достаточное условие существования тройного интеграла от ограниченной функции по множеству V выражается равенством

где λn − максимальный из диаметров множеств Vi , i =1,n .

Упражнение 2. Доказать условие (2) существования тройного интеграла.

Справедлива

Теорема 1. Если функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой кубируемой области V, то она интегрируема по V.

Упражнение 3. Доказать теорему 1.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

Упражнение 4. Сформулировать и доказать свойства тройного интеграла.

§4. Вычисление тройного интеграла в декартовой

системе координат

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей размерности.

Область V называется правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области V, пересекает границу этой области только в двух т о ч к а х .

Область, правильная в направлении оси Ox (оси Oy)

определяется аналогично.

Область, правильная одновременно в направлении осей Ox, Oy, Oz, называется правильной.

76

прямой, параллельной оси Oy с областью V1 , а a, b есть, соответственно, наименьшая и наибольшая абсциссы точек области

Упражнение 1. Доказать теорему 1.

В формуле (2) сначала выполняется интегрирование функции f (x, y, z) по z при постоянных x, y . В результате получаем

функцию, зависящую от двух переменных x, y . Далее выполняется интегрирование по y при постоянном х и лишь затем интегрирование

по х. Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

В частном случае, когда область V является параллелепипедом с

77

В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке.

Пример 1. Вычислить òòòxy dxdy dz , где

V

ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z =1, x + y + z = 2 (рис.2).

Решение. Область V является правильной в направлении оси Oz. Интегрирование по z совершается от z =1 до

78

Область V1 является правильной в направлении оси Oy. Точки пересечения области V1 и прямой, параллельной оси Oy, имеют ординаты y = 0 и y =1− x . Переменная x изменяется от 0

Замечание 1. Если область V не является правильной ни в одном из направлений Ox, Oy, Oz , то ее следует разбить на конечное

число частей, являющихся правильными в направлении какой-либо из осей, не имеющих общих внутренних точек, и воспользоваться свойством аддитивности интеграла по множествам.

§ 5. Замена переменных в кратных интегралах

10. Преобразование координат. Помимо прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве можно рассматривать другие системы координат. Отметим, что в любой системе координат точка на плоскости характеризуется двумя числами, а в пространстве – тремя.

На плоскости Oxy рассмотрим некоторую область D и определенные в этой области однозначные функции

79

MN = (x(ξ0 + Dξ,η0 ) - x(ξ0 ,η0 ); y(ξ0 + Dξ,η0 ) - y(ξ0 ,η0 )), MQ = (x(ξ0 ,η0 + Dη) - x(ξ0 ,η0 ); y(ξ0 ,η0 + Dη) - y(ξ0 ,η0 )).

Применяя теорему Лагранжа, с точностью до бесконечно малых

функциональным определителем Якоби или якобианом.

Формула (3) показывает, что величина J (ξ,η) характеризует

степень искажения площади фигуры при преобразовании координат

(2).

Замена координат в пространстве проводится аналогично. Пусть равенства x = x(u,v, w) ; y = y(u,v,w) ; z = z(u,v, w) , (u;v; w) ÎQ Ì 3 ,

определяют взаимно однозначное соответствие между переменными

81

вычисляется в некоторой точке (u0;v0;w0 ) ′ .

20. Замена переменных в двойном и тройном интегралах.

При вычислении двойных и тройных интегралов возникают трудности, связанные не только со сложностью подынтегральной функции, но и с формой границы области интегрирования. С целью приведения интеграла к виду, более удобному для его вычисления, производится замена переменных.

Пусть в некоторой области D 2 для функции f (x, y) существует двойной интеграл òò f (x, y)dxdy . Пусть задано взаимно

D

однозначное отображение (2) между областями D плоскости Oxy и Q плоскости Oξη , причем функции

Разобьем множество Q сеткой, состоящей из прямоугольников со сторонами x, y . При помощи отображения (2) часть сетки, содержащаяся в Q , переходит в криволинейную сетку линий, разбивающую D на квадрируемые части (рис.2).

Обозначим через ′ любой из полных прямоугольников сетки, входящих в Q . При преобразовании (2) ′ переходит в множество .

82

стремится к нулю, потому что в преобразовании (2) функции x(ξ,η) , y(ξ,η) равномерно непрерывны на замкнутом множестве Q .

На основании формулы (3) преобразования площади, имеем

å f (x, y)S(D) =å f (x(ξ,η), y(ξ,η)) J (ξ,η) DξDη ,

функции f по множеству D , получим формулу замены переменных для двойного интеграла

x − y =1, x − y = 4, 2x + y =1, 2x + 5y =1 (рис.3).

Решение. Если вычислять этот интеграл непосредственно, то область D надо разбить на три части и вычислить, соответственно, три интеграла. Рассмотрим преобразование