Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 496 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

∞

coskπ x

Ряд Фурье имеет вид x2

+ 4å(-1)k

. □

k=1

y = −x

Пример 2. Представить в виде ряда Фурье функцию

на

[-π ; π ] .

Решение. Функция y = −x – нечетная, значит, a0 = ak

= 0 .

x = u,

dx = du

bk =

ò(-x)sin kxdx = -

ò xsin kxdx =

sin kxdx = dv, v = -

cos kx

x cos kx

2π

(-1)k .

= -

ê-

òcos kxdxú

cos kπ =

π k

∞

(-1)

Ряд Фурье имеет вид -x = 2å

sin kx . □

k=1

§ 4. Ряд Фурье для функций с периодом 2l

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с

периодом T ¹ 2π .

Пусть

f (x) – периодическая функция с периодом 2l. Сделаем

замену

x =

, тогда

функцию

æ lt

периодом 2π

можно

представить в виде ряда

∞

æ lt

÷ =

å(ak coskt +bk sin kt),

где

è π

k=1

æ lt

÷coskt dt ,

(1)

−π

æ lt

sin kt dt .

(2)

−π

Подставим в формулы (1) и

(2)

вместо

переменной

ее

значение t =

π x :

1 l

kπ x

1 l

kπ x

f (x)cos

dx;

b =

l ò

f (x)sin

dx .

−l

Таким образом, ряд Фурье для функции с периодом 2l имеет вид

∞ æ

kπ x

kπ x ö

f (x) =

+ åç ak cos

+ bk

sin

÷ .

(3)

k=1è

Для ряда Фурье (3) справедливы выражения для коэффициентов

четных и нечетных функций.

Пример 1. Разложить функцию y = x в ряд Фурье на отрезке [–

Решение.

;

]

Данная функция нечетная, поэтому a0 = ak = 0 .

x = u,

dx = du

bk =

òxsin kπ xdx =

sin kπ xdx = dv, v = -

coskπ x

kπ

xcoskπ x

1 coskπ x

coskπ

(-1)k−1

= 2ê-

+ ò

dxú

= -2

kπ

∞

(-1)

k−1

Получаем ряд Фурье x =

sin kπ x. □

k=1

Пусть

y = f (x) − непериодическая функция, заданная на всей

числовой оси (-¥; + ¥). Такая функция не может быть разложена в

ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье − функция периодическая и, значит, не может быть равна f (x) для всех x . Однако

непериодическая функция f (x) может быть представлена рядом Фурье на любом конечном отрезке [a; b] , где для нее выполняются условия Дирихле. Для этого поместим начало координат в середину

отрезка	[a; b] и построим функцию f1(x) периода T = 2l =	b - a

такую,	что f1(x) = f (x) , xÎ[-l; l] . Разлагаем функцию f1(x) в ряд

Фурье. Сумма полученного ряда во всех точках отрезка [a; b] , кроме точек разрыва и концов этого отрезка, совпадает с заданной функцией f (x) . Вне промежутка [a; b] сумма ряда и f (x) , вообще говоря, различные функции.

§ 5. Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть функция

f (x)

разложена в ряд Фурье

f (x)

∞

+ å(an cos nx +bn sin nx) ,

(1)

n=1

где

f (x)cosnxdx,

f (x)sin nxdx .

−π

Преобразуем (1), используя формулы Эйлера

cos nx =

einx

+ e−inx

sin nx =

einx - e−inx

−inx

−inx ö

∞

inx

+ e

inx

- e

f (x) =

åç an

+ bn

÷ =

n=1

∞

inx

+ e

−inx

inx

- e

−inx ö

+ åç an

- ibn

n=1

∞ æ a

- ib

+ ib

+ åç

einx

e−inx ÷ .

n=1è

Обозначим

= c ;

an - ibn

= c ;

an + ibn

= c

, тогда

−n

f (x) = c0 + å∞ (cneinx + c−ne−inx ),

где

n=1

f (x)dx ;

2π

−π

inx

+ e

−inx

inx

- e

−inx

f (x)e−inxdx ;

f (x)

÷dx

2π

−π

inx

+ e

−inx

inx

- e

−inx ö

f (x)einxdx .

f (x)ç

÷dx =

2π

−n

−π

Объединяем полученные формулы в одну, при n = 0; ±1; ±2;K

имеем c

f (x)e−inxdx .

2π ò

−π

Отметим,	что		для	комплексно-значной		функции
f (x) = u(x) + iv(x) ,	где		u(x) и	v(x) принимают	вещественные
значения,						производная
и интеграл определяются так:
			b	b	b
¢	¢		¢
f (x) = u (x) + iv (x), ò f (x)dx =òu(x)dx + iòv(x)dx.
			a	a	a
Ряд (1) принимает вид
			∞
			f (x) = å cneinx .			(2)
			n=−∞
Комплексная форма ряда Фурье для функции с периодом 2l
имеет вид			∞
			∞
			f (x) = å cneiωnx ,			(3)
			n=−∞
где
c =	1	l	f (x)e−iωn xdx, n = 0, ±1, ± 2,K ,			(4)
c =	2l	ò	f (x)e−iωn xdx, n = 0, ±1, ± 2,K ,			(4)
n	2l	ò
n

−l

ωn = πln называется волновой частотой.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье 2-периодическую функцию

ì0, x Î[-1;0), f (x) = ï

íïî1, x Î[0;1), T = 2.

График функции f (x) изображен на рис.1.

f (x) 1

–2

–1

Рис. 1

Решение. По формулам (4) находим (l =1) :

c =

dx =

;

e-inπ xdx = -

e-inπ x

(e-inπ -1) =

cn =

= -

2nπ i

2nπi

(-1)n -1

(cos nπ - i sin nπ -1) =

i, n = ±1, ± 2,K.

2nπ

f (x) имеем

Значит, для всех точек непрерывности функции

(-1)n -1 inπ x

æ eiπ x

e-iπ x

e3iπ x

e-3iπ x

f (x) =

+ i

2nπ

- iç

3π

+K÷ . □

n=-¥

(n¹0)

В электротехнике и радиотехнике члены ряда c eiωn x называют

гармониками,

коэффициенты

−

комплексными амплитудами

гармоник, а числа ωn , n = 0, ±1, ± 2,... − волновыми числами функции

f (x) .

Совокупность

величин

{c1, c2 ,...,cn ,...}

называется

амплитудным спектром.

§ 6. Интеграл Фурье

Пусть функция

f (x) удовлетворяет на отрезке [−l; l] условиям

Дирихле. Тогда на [−l;

ее можно разложить в ряд Фурье

f (x) =

nπ

+ å

(an cos

x +bn sin

x) ,

(1)

n=1

где

an =

f (t)cos

nπ

t dt,

n = 0,1, 2,K,

-l

(2)

nπ

b =

f (t)sin

t dt,

n =1, 2,K.

-l

T = 2l , то

Если f (x) − периодическая функция с периодом

разложение (1) справедливо на всей числовой оси.

10. Формула Фурье. Рассмотрим случай непериодической функции f (x) , заданной на промежутке (-¥; ¥) . Предположим, что

на любом конечном промежутке [-l; l] функция f (x) удовлетворяет

условиям Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой оси,

∞

т.е. существует вещественное число M ³ 0 , что

f (t )

dt = M < ¥ .

−∞

Подставим в (1) вместо коэффициентов an

их

интегральные выражения (2). Тогда

f (x) =

(t)dt +

ò f

−l

∞

æ l

f (t )cos

nπ t

nπ x

f (t)sin

nπ t

nπ x ö

ål

dt cos

dt sin

(3)

n=1

−l

∞

1 l

nπ

ò f

(t)dt + ål

ò f (t)cos

(t - x) dt .

−l

n=1

−l

правой

части равенства (3)

при

l → +∞

Первое

слагаемое

стремится к нулю, т.к.

f (t)dt

f (t)

dt £

−l

Величина un =

π n

в правой

части

(3) принимает

значения

u = π ,

2π

3π

,K,

которые

образуют

бесконечную

прогрессию

разностью

арифметическую

Dun = un+1 - un = π

n =1, 2,K,

причем

Dun ® 0

при

l → ∞ .

Получаем, что

∞

å ò f (t)cos(un × (t - x))dt =

ò f (t)cos(un × (t - x))dt ×

l =

n=1−l

(4)

∞

f (t)cos(u

×(t - x))dt ÷Du

π n=1è −l

Сумма (4) представляет собой интегральную сумму для функции

(t)cos(u ×(t - x))dt,

ϕ(u) = ò f

u Î(0; + ¥) .

(5)

−l

при l → +∞ ,

Поэтому, переходя к пределу в равенстве (4)

∞

f (x) =

òdu ò f (t)cos(u ×(t - x))dt .

(6)

−∞

Формулу (6) называют формулой Фурье, а интеграл в правой

части этой формулы – интегралом Фурье для функции

f (x) .

Отметим, что формула Фурье справедлива в точках

непрерывности

функции

f (x) . В точках разрыва

x = x0

функции

f (x) интеграл Фурье

равен среднему

арифметическому ее

односторонних пределов:

∞ du

∞

f (t)cosu(t - x)dt =

( f (x

- 0) + f (x + 0)).

−∞

Раскрывая косинус разности двух углов в (5), получаем

∞

f (x) =

ò du ò

f (t)cos(u ×(t - x))dt =

−∞

∞

ò du

ò f (t)(cosut cosux +sin ut sin ux)dt =

−∞

∞ ææ

∞

= òçç

f (t)cosut dt

÷cosux +

ò f (t)sinut dt

÷sin ux

÷du,

çç

−∞

0 èè

то есть

∞

f (x) = ò( A(u)cosux + B(u)sinux) du ,

(7)

где

∞

A(u) =

f (t)cosut dt ;

B(u) =

f (t)sin ut dt.

−∞

Отметим, что для четной функции

f (x) формула Фурье (7)

имеет вид

∞

f (x) = ò A(u)cosuxdu ,

(8)

∞

где A(u) =

ò f (t)cosut dt . Для нечетной функции имеем

∞

f (x) = ò B(u)sinuxdu ,

(9)

2 ∞

где B(u) = π ò0 f (t)sinut dt.

Если функция f (x) задана лишь на промежутке (0; +∞) , то продолжая ее на промежуток (−∞; 0) , например, нечетным образом,

получим формулу типа (9); в случае продолжения её чётным образом будем иметь формулу типа (8).

20. Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье.

Представим формулу Фурье (7) в симметричной форме записи.

Для

этого

положим

формулах

(8)

(9)

A(u) =

A(u), B(u) =

B(u) .

Если

функция

четная,

то

∞ %

f (x) =

ò A(u)cosuxdu,

где

∞

A(u)

ò f (t)cosutdt,

(10)

∞ %

если нечетная, то

f (x) =

B(u)sin uxdu ,

где

∞

B(u)

ò f (t)sinut dt .

(11)

Функции A%(u) и B%(u) , определяемые соответственно

формулами (10) и (11), называются косинус-преобразованием и синус- преобразованием Фурье для функции f (x) .

30. Интеграл Фурье в комплексной форме. Интеграл (6) в

комплексной форме имеет вид:

	1	∞		∞
f (x) =		ò eiuxdu ò f (t)e−iut dt .			(12)
	2π
		−∞		−∞

Интеграл Фурье (7) имеет вид
			1	∞
f (x) =				ò c(u)eiuxdu,	(13)
			2π
				−∞

∞

f (t)e−iut dt .

где c(u) = ò

−∞

Симметричная форма записи интеграла (13) следующая:

f (x) =

∞

iux

du,

(14)

2π

ò c(u)e

−∞

∞

−iut

f (t)e dt .

где c(u) =

2π

−∞

Пример 1. Представить функцию

ì1,

xÎ( -π ;π );

f (x) = í

Î(-¥; -π ]È[π ;+¥).

î0,

интегралом Фурье.

Решение. Очевидно, функция f (x)

удовлетворяет

условиям

Дирихле на любом отрезке [-l; l]

и абсолютно интегрируема на всей

числовой прямой. Найдем коэффициенты

A(u) и B(u) .

Так как

функция f (t)

–

четная, то

f (t)sinut

будет нечетной

функцией

переменной t и B(u) = 0 . Функция

f (t)cosut

будет четной, и

+∞

A(u) =

f (t)cosut dt =

ò1×cosut dt + ò 0 ×cosut dt ÷

π0 = 2

sinπu

òcosut dt =

sinut

πu

Таким образом, имеем:

				ì
		+∞	sinπu	ï1,
	2	+∞		ï
		ò		ï
f (x) =				cosuxdu = í0,
f (x) =	π		u	cosuxdu = í0,
	π	0	u	ï	1
		0		ï
				ï		,
				ï
				î2

xÎ( -π ;π );

xÎ( - ¥;-π ) È (π;+ ¥);

x = -π или x = π .

Задания для самостоятельной работы

1.Разложить в ряд Фурье функции:

а) f (x) = x +1, xÎ[-π;π ];

б) f (x) = x , xÎ[-2; 2] ;

в) f (x) = -x, xÎ[0; 2π ]; г) f (x) = 3x2 , xÎ[0; 2].

2. Воспользовавшись разложением функции f (x)						в ряд Фурье, найти
сумму заданного числового ряда:
∞
а) f (x) = x2 , xÎ[-π ;π ]; å	1	;
а) f (x) = x2 , xÎ[-π ;π ]; å	2	;
n=1 n
			∞			1
б) f (x) = x, xÎ[0; π ] (по косинусам); å						1	;
б) f (x) = x, xÎ[0; π ] (по косинусам); å					(2n -1)2		;
			n=1		(2n -1)2
		∞	n+1
в) f (x) = π 2 - x2 , xÎ[-π; π ]; å			(-1)	.
в) f (x) = π 2 - x2 , xÎ[-π; π ]; å			2	.
		n=1	n

3.Разложить функцию cos x, xÎ[0;π ] в ряд Фурье по синусам, доопределив ее нечетным образом.

4.Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функций:

а) f (x) = e−x , x ³ 0 ;

ì1 ,			0 £ x <1,
ï	1
ï	1
б) f (x) = í		, x =1,
б) f (x) = í	2	, x =1,
ï	2		x >1.
ï0,			x >1.
î

5. Найти преобразование Фурье функций:

ì-e−x , -1£ x < 0,

−x

0 £ x £1,

а) f (x) = íe

>1;

ï0,

æ x

£ π ,

ïcosç

б)

f (x) = í

> π.

î0,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 496 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016218.62 Кб35TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
18.02.2016107.52 Кб12TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
10.11.20196.55 Mб3Tezisy_chast_1._Avtomatizacija_i_mekhanizacija....docx
#
06.09.2019169.47 Кб5Thatcherism.doc
#
18.07.201945.06 Кб1The Baltic Sea Basin .doc
#
18.02.20163.2 Mб59Tom_2.pdf
#
28.09.2019184.55 Кб2Trebovania.rtf
#
18.02.2016176.64 Кб9trebovania_k_oformleniyu.doc
#
18.02.2016284.67 Кб3Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
28.09.2019248.83 Кб4Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
18.02.2016248.32 Кб3trebovania_k_oformleniyu_poyasnitelnoy_zapiski.doc