Tom_2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга является вторым томом учебника «Математика для инженеров».В данном томе излагаются основы числовых и функциональных рядов; кратных и поверхностных интегралов; теории поля; основы функций комплексной переменной; уравнений математической физики и операционное исчисление; элементы теории вероятностей и математической статистики.

При изложении материала книги авторы руководствовались следующими принципами: высокий уровень строгости и одновременно простота и доступность изложения; хорошая теоретическая подготовка и выработка навыков по применению теоретических знаний; соблюдение той степени общности, которая позволит учесть запросы каждого из конкретных направлений программы подготовки инженеров-специалистов и, тем самым, на основе излагаемого материала построить курс «Математика» для студентов различных инженерных специальностей.

Книга состоит из глав и параграфов, где изложены математические понятия и теоремы. Сложные доказательства некоторых теорем, как и предусмотрено программой, в книге не приводятся. Делается акцент на разъяснение смысла формулировок, понятий, иллюстрацию их примерами. Изложение теоретического материала сопровождается примерами и задачами с их подробным решением, а также упражнениями, позволяющими глубже проанализировать данный теоретический материал. В конце каждой главы приведены задачи для самостоятельного решения. В конце книги помещен предметный указатель.

В связи с профессиональной направленностью курса математики почти во всех главах ученика рассмотрены задачи из области физики и техники. Это будет способствовать формированию у студентов уверенности в п р о ф е с с и о н а л ь н о й з н а ч и м о с т и и з у ч а е м о г о п р е д м е т а .

Второй том имеет ту же структуру, что и первый, и здесь использована та же система ссылок. Например, выражение «по формуле (2.3.1)» означает, что эта формула под номером один находится в третьем параграфе второй главы.

Авторы надеются, что предложенная схема построения учебника будет полезной и студентам с разными требованиями к объему математических знаний, и преподавателям, владеющим предметом, а сама книга будет содействовать повышению математической культуры читателя.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту доктору физико-математических наук, профессору Кротову В.Г., коллективу кафедры математических методов теории управления БГУ, и рецензенту доктору физико-математических наук, профессору Рябушко А.П. за полезные советы и ценные замечания, которые помогли значительно улучшить содержание рукописи книги.

4

и при этом сумма указанного ряда совпадает с пределом последовательности { xn } .

Иными словами, рассмотрение ряда и его суммы − своеобразный перевод на другой язык изучения последовательности и ее предела, имеющей, как будет показано позже, свои преимущества как при установлении самого существования предела, так и при его вычислении.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

1+ q + q2 +K + qn +K, q Î .

Решение. Составим его n-ую частичную сумму

Sn =1+ q + q2 +K + qn−1 .

Известно, что сумма первых n членов геометрической

Получили известную формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

Если q >1 или q =1, то, очевидно, последовательность {Sn} является бесконечно большой последовательностью, если же q = −1, то предел {Sn} не существует. □

Выражение вида

k=i+1

также представляет собой ряд. Он называется i-ым остатком ряда (1) и обозначается ri .

аm-ая частичная сумма ряда (2)

σm = ai+1 + ai+2 +K + ai+m .

6

Следовательно, σm = Si+m − Si .

Так как i фиксировано, то предел {σm} существует тогда и

только тогда, когда существует lim Si+m , т.е. последовательность

m→∞

S1, S2 ,K, Sn ,K имеет предел. □

Из этой теоремы следует, что сходимость ряда не нарушается, если изменить конечное число его членов.

Заметим также, что, если ряд (1) сходится, то

где Sn – n -ая частичная сумма ряда (1), rn – его n-ый остаток.

∞

å(−1) расходятся.

n=1

Упражнение 1. Доказать первое утверждение теоремы 2.

20. Необходимое условие сходимости числового ряда.

7

Итак, если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю

при n → ∞ . Отсюда следует, что, если lim an ¹ 0 или не существует,

n→∞

выполняется: lim 1 = 0 . Однако, этот ряд расходится. Действительно,

n→∞ n

С другой стороны,

S2n - Sn = n1+1 + n +1 2 +L+ 21n ³ n +1 n + n +1 n +L+ 21n = n 21n = 12 ,

что противоречит (6). Следовательно, гармонический ряд расходится.

□

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда:

8

§ 2. Критерий Коши. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Необходимый признак сходимости в общем случае не дает возможности судить о том, сходится данный ряд или нет. Поэтому нужно иметь критерии сходимости рядов или установить достаточные условия сходимости.

Рассмотрим знакоположительный ряд

n=1

Отметим, что знакоотрицательный ряд, т.е. ряд с неположительными членами переходит в знокоположительный путем умножения его на (−1) , что, в силу теоремы 2, не влияет на

сходимость ряда.

10. Критерии сходимости ряда (1).

Теорема 1. Для того, чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Доказательство достаточности. Пусть последовательноcть {Sn} ограничена. Заметим, что Sn+1 = Sn + an+1 ³ Sn , nÎ N , так как an ³ 0 . Тогда последовательность {Sn} – неубывающая и ограничена. Значит, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел. □

Упражнение 1. Доказать необходимость условий теоремы 1. Наличие общего критерия Коши для сходимости числовой

последовательности позволяет установить соответствующий критерий и для числового ряда.

Теорема 2. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер N(ε ) такой, что при

всяком натуральном p и всех n > N(ε ) имело место неравенство

n+ p

Sn+ p - Sn = å am < ε . m=n+1

9

Доказательство. Утверждение теоремы 2 равносильно критерию Коши для сходимости последовательности {Sn} частичных сумм ряда, что, согласно определению, и есть сходимость ряда (1). □

20. Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость знакоположительного ряда (1) часто можно установить путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Теорема 3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с

Тогда из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) – расходимость ряда (В).

Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов (А) и (В), соответственно, Sn(1) и Sn(2) . Из неравенства (2) следует, что

lim S(2) = ∞ , т.е. ряд (В) расходится. □

n→∞ n

Замечание 1. Теорема 3 справедлива и в том случае, когда неравенство (2) выполняется не для всех членов рядов (А) и (В), а начиная с некоторого номера N. Это вытекает из теоремы 1.1.

Теорема 4 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (А) и (В). Если существует конечный,

отличный от нуля, предел lim an = A (0 < A < ∞) , то ряды (А) и (В)

n→∞ bn

одновременно сходятся или расходятся.

10

n=1

теореме 1.2, ряд (В) сходится.

Если ряд (А) расходится, то, согласно правому неравенству (4), теореме 3 и теореме 1.2, ряд (В) расходится.

Аналогично, если ряд (В) сходится (или расходится), то сходящимся (или расходящимся) будет и ряд (А). □

n=1

n

теореме 4, расходится и исходный ряд. □

30. Признаки Д’Аламбера и Коши.

11

∞

Теорема 5 (признак Д’Аламбера). Пусть дан ряд åan с

aN0 +4 < (q + ε )aN0 +3 < (q + ε )3 aN0 +1 и т. д.

Ряд (q + ε) aN0 +1 + (q + ε )2 aN0 +1 + (q + ε )3 aN0 +1 +K сходится, так как q + ε (0,1) . Следовательно, по признаку сравнения, сходится и

Случай q >1 доказывается аналогично. □ Упражнение 2. Доказать теорему 5 в случае q >1.

Если же q =1, то ряд может сходиться, а может и расходиться.

теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой величины,

12

геометрической прогрессии, сходится. В силу признака сравнения, ряд

Исходный ряд сходится.

б) К данному ряду удобно применить признак Коши:

Исходный ряд расходится. □

Теорема 7 (интегральный признак Коши). Если члены

∞

знакоположительного ряда åan монотонно убывают и существует

n=1

положительная невозрастающая функция f (x) , такая, что f (n) = an

∞

при n ³1 , то ряд и несобственный интеграл ò f (x)dx сходятся или

1

расходятся одновременно.

Доказательство. По условию, f (n +1) < f (n) . Согласно теореме об оценке определенного интеграла, имеем

k+1

f (k +1) £ ò f (x)dx £ f (k), k =1, 2,K .

13