Глава 3

Аналитическая геометрия в пространстве и векторная алгебра

1. Система декартовых прямоугольных координат в пространстве

Пусть в пространстве три взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу, Оz. На этих осях указаны их положительные направления, выбрана единственная единица масштаба. Эти взаимно перпендикулярные оси образуют систему координат в пространстве.

Оси Ох, Оу, Оz, называются осями координат, а плоскости хОу, хОz, уОz, называются координатными плоскостями. Точка О – начало координат. Через точку М пространства проведем плоскости перпендикулярно осям Ох, Оу и Оz. Точки А, В, С являются точками пересечения этих плоскостей с осями координат.

Эти точки имеют координаты А (х;0;0), В (0;у;0) и С (0;0;z), х - есть абсцисса координат М, у - ордината, z - аппликата. Координаты точек М(х;у;z). Таким образом между множествами точек в пространстве и множество тройки чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие.

2. Скалярные и векторные величины

Величины, которые характеризуются лишь числовым значением (например: температура, масса, время, площадь, объем и др.), называются скалярными или скалярами.

Величины, которые характеризуются не только числом, но и направлением, называются векторными. Вектором называется направленный отрезок. Следовательно, для задания вектора необходимо указать длину и направление. Векторы обозначаются двумя прописными буквами со стрелкой над ними, например , или строчной латинской буквой. Два вектора называются равными, если они расположены на параллельных прямых, имеют одинаковое направление и равны по длине. В математике, в отличие от физики, рассматриваются свободные векторы. Это означает, что векторы можно переносить в пространстве не меняя длину и направление.

3. Сумма и разность векторов

Пусть в пространстве даны векторы , , , и

Приняв точку М за начальную построим ломанную ММ₁М₂М₃М₄М₅, где ₁ =, =, , , .

Вектор , является замыкающим и называется суммой векторов . Начало вектора совпало с началом вектора , - первое слагаемое, конец совпадает с концом последнего вектора -. Вектор - есть геометрическая сумма указанных векторов: (4.1)

При сложении векторов имеет место свойство переместительности и сочетательности: или (

Два вектора, имеющие одинаковую длину, расположенные на параллельных прямых и противоположно направленные, называются противоположными. Вектор , противоположный вектору , обозначается так:. Из определения суммы имеем:

т.е сумма противоположных векторов есть нуль-вектор.

Разностью двух векторов иназывается вектор, который в сумме с векторомбудет равен вектору:если.

Из определения разности вытекает построение вектора ; для того, чтобы вычесть из векторавектор, нужно привестиик общему началу и построить вектор, начало которого совпадает с концом вектора(вычитаемое), конец совпадает с концом вектора(уменьшаемое) (рис.20).

4. Умножение вектора на число

При умножении вектора на числополучим вектор. Длина вектораравна произведению модулей, векторпараллелен векторуи одинаково параллелен, если>0, и противоположно направлен<0.