5.3. Задача про масу неоднорідного стержня і координати центра мас
Нехай
прямолінійний стержень лежить на осі
Ох в межах відрізка
.
Треба знайти масуm
цього стержня, якщо його густина
є деякою неперервною функцією від
.
Розв’язання
Розіб’ємо
стержень на n
довільних
частин
точками
.
Якщо
відрізок
достатньо малий, то функція
на ньому змінюється мало. Тому маса
частини стержня
яка відповідає цьому відрізку, наближено дорівнює
,
а маса всього стержня
(5.8)
Точне значення маси знайдемо як границю цієї суми, тобто
(5.9)
Знайдемо
координати центра мас. Якщо
малі, то стержень можна представити у
вигляді системи матеріальних точок з
координатамих1,x2,…,
і
масами
Центр мас такої системи має координату
(5.10)
Координату центра мас стержня одержимо граничним переходом при
(5.11)
Приклад
5.2.
Знайти масу стержня, розташованого на
відрізку 0,2
осі Ох,
якщо його густина
Обчислити координату його центра мас.
Розв’язання
5.4. Задача про роботу змінні сили
Нехай
на матеріальну точку діє сила
,
яка є сталою за напрямом і неперервно
змінюється за величиною. Нехай під дією
цієї сили точка перемістилася вздовж
осі Ох з точкиа
в точку b
(ab).
Обчислити роботу цієї сили на відрізку
a,b
Розв’язання.
У кожній точці
діє сила
,
величина якої за умовою є неперервною
функцією відх:
.
Розіб’ємо відрізок a,b точками
на
n
частинних відрізків
,
.
Припустимо, що кожний з частинних
відрізків є таким малим, щоF(x)
на ньому можна вважати сталою і рівною
значенню в деякій довільно вибраній
точці
Робота,
що виконана силою
на відрізку
наближено дорівнює
Оскільки робота на відрізку a,b дорівнює сумі робіт на всіх частинних відрізках, то
(5.12)
Ця
наближена рівність тим точніша, чим
менші довжини
.
Тому природно за роботу сили
на шляхуa,b
вважати границю суми (5.12), а саме:
(5.13)
Приклад 5.3. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на 10 см, якщо сила в 20Н розтягує пружину на 5 см?
Розв’язання. За Законом Гука упруга сила, що розтягує пружину, пропорційна розтягу х, тобто
,
де k – коєффіцієнт пропорційності (жорсткість пружини). За умовою задачі сила F = 20H розтягую пружину на х = 0,05 м. Отже 20 = k 0,05, звідси k = 400 (Н/м), отже F = 400 x. Шукана робота за формулою (5.13) дорівнює
.
6. Завдання для самостійної роботи
Завдання 1. а), б), в), г), д).
Обчислити визначені інтеграли.
Завдання 2. а), б), в), г).
Обчислити площу фігури, обмеженої даними кривими
Завдання 3. а), б), в).
Знайти довжину дуги кривої.
Завдання 4. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої даними кривими, навколо даної осі.
Завдання 5. Знайти площу поверхні, утвореної при обертанні даної кривої навколо заданої осі.
Завдання 6. Знайти шлях, що буде пройденим тілом від моменту t0=0 до моменту t1.
Завдання 7. Знайти масу стержня, розташованого на відрізку a,b осі Ох, якщо його густина (х). Обчислити координату його центра мас.
Завдання 8. Знайти роботу, що виконується при розтягу пружини жорсткості k Н/см на l см.
Варіант 1
4.
5.
6.
7.
.
8.
Варіант 2
2.
3.
.
4.
5.
6.
7.
.
8.
Варіант 3
2.
3.
4.
5.
6.
7.
.
8.
Варіант 4
2.
3.
.
4.
5.
6.
7.
.
8.
Варіант 5
2.
3.
4.
5.
6.
7.
.
8.
Варіант 6
2.
3.
4.
5.
6.
7.
.
8.
Варіант 7
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 8
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 9
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 10
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 11
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 12
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 13
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 14
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 15
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 16
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 17
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 18
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 19
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 20
2.
;
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 21
2.
;
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 22
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 23
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 24
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 25
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 26
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 27
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 28
2.
3.
б)
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 29
2.
3.
б)
4.
5.
6.
7.
8.
Варіант 30
2.
3.
б)
4.
5.
6.
7.
8.
ДОДАТОК
ДЕЯКІ КРИВІ
Продовження дод.
Продовження дод.
Продовження дод.
Продовження дод.
Закынчення дод.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Дубовик В.П., Вища математика / Дубовик В.П., Юрик І.І. – К:А.С.К., 2006. – 648 с.
2. Пискунов М.М. Дифференциальное и интегральное исчисления / Пискунов М.М. – М: Интеграл. – Пресс, 2004. – Т1 – 416 с; 2003. – Т2. – 529 с.
3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – М: «Наука», 1968 – 727 с.
4. Герасимчук В.С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах. Невизначений, визначений та невласні інтеграли. Звичайні диференціальні рівняння. Прикладні задачі : навч. посіб / Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.І. – К: Книги України ЛТД, 2010 – 470 с
5. Сборник задач по математике для втузов: В 2 ч. / Под. ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М: Наука, 1981. – ч. 1 – 464 с.; 1986. – ч.2 – 368 с.
6. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. – Москва, Айрис – Пресс, 2008. – 575 с.
ЗМІСТ
1. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ 5
1.1. Означення визначеного інтеграла 5
1.2. Основні властивості визначеного інтеграла 7
2. ІНТЕГРАЛ ЗІ ЗМІННОЮ ВЕРХНЬОЮ МЕЖЕЮ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ 9
3. МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ 11
3.1. Метод заміни змінної (підстановки) 11
3.1.1. Підстановка 11
3.1.2. Підстановка 15
3.1.3. Інтегрування по симетричному проміжку 17
3.2. Метод інтегрування частинами 18
4. ОСНОВНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА 19
4.1. Обчислення площ плоских фігур 20
4.1.1. Декартова система координат 20
4.1.2. Параметричне задання кривої 27
4.1.3 Задання кривої в полярній системі координат 29
4.2. Обчислення довжин дуг кривих 33
4.2.1. Декартова система координат 33
4.2.2. Параметричне задання кривої 36
4.2.3. Задання кривої в полярній системі координат 38
4.3. Обчислення об’ємів тіл обертання 40
4.3.1 Декартова система координат 40
4.4. Обчислення площ поверхонь тіл обертання 47
5. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ 50
5.1. Загальна схема застосування визначеного інтеграла 50
5.2. Задача про пройдений шлях 52
5.3. Задача про масу неоднорідного стержня і координати центра мас 53
5.4. Задача про роботу змінні сили 55
6. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ 56
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 85
ДЛЯ НОТАТОК
ДЛЯ НОТАТОК
ДЛЯ НОТАТОК
Навчальне видання
ЯРХО ТЕТЯНА ОЛЕКСАНДРІВНА НЕБРАТЕНКО ОЛЕГ В’ЯЧЕСЛАВОВИЧ МОРОЗ ІРИНА ІВАНІВНА