- •Практикум з вищої математики. Визначений інтеграл та його застосування
- •1. Визначений інтеграл та його властивості
- •1.1. Означення визначеного інтеграла
- •1.2. Основні властивості визначеного інтеграла Властивості, що виражаються рівностями
- •Властивості, що виражаються нерівностями
- •2. Інтеграл зі змінною верхньою межею. Формула ньютона-лейбниця
- •3. Методи обчислення визначених інтегралів
- •3.1. Метод заміни змінної (підстановки)
- •3.1.1. Підстановка
- •3.1.2. Підстановка
- •2) ; 3).
- •3.1.3. Інтегрування по симетричному проміжку
- •4.1.2. Параметричне задання кривої
- •4.1.3 Задання кривої в полярній системі координат
- •4.2.Обчислення довжин дуг кривих
- •4.2.1.Декартова система координат
- •4.2.2. Параметричне задання кривої
- •4.2.3. Задання кривої в полярній системі координат
- •4.3. Обчислення об’ємів тіл обертання
- •4.3.1 Декартова система координат
- •4.4. Обчислення площ поверхонь тіл обертання
- •1. Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі:
- •5. Застосування визначеного інтеграла до розв’язання прикладних задач
- •5.1. Загальна схема застосування визначеного інтеграла
- •5.2. Задача про пройдений шлях
- •5.3. Задача про масу неоднорідного стержня і координати центра мас
- •5.4. Задача про роботу змінні сили
- •6. Завдання для самостійної роботи
- •Варіант 1
- •Практикум з вищої математики.
4.1.2. Параметричне задання кривої
Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою з параметричними рівняннями
де є неперервними функціями на відрізку, обчислюється за формулою
(4.7)
Межі інтегрування ізнаходяться як корні рівнянь:
Приклад 4.5. Знайти площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди
Розв’язання: Першу арку циклоїди матимемо при зміні параметра t від 0 до . Складемо таблицю значеньі:
t |
0 | ||||||||
x |
0 |
0,16 |
1,14 |
3,3 |
6,28 |
9,26 |
11,42 |
12,40 |
12,56 |
y |
0 |
0,59 |
2 |
3,41 |
4 |
3,41 |
2 |
0,59 |
0 |
За знайденими значеннями побудуємо криву
Рис. 12
Скористуємось формулою (4.7).
Приклад 4.6. Знайти площу фігури, обмеженої кривою
Розв’язання. Дослідимо криву. Оскільки , то криву розташовано симетрично відносно осіОх.
Складемо таблицю значень t, x, y.
t |
–2 |
–1 |
2 | ||||||
x |
–3 |
0 |
–3 | ||||||
y |
6 |
0 |
–6 |
При
При
Побудуємо криву за знайденими значеннями.
Рис. 13
Площа петлі одержаної кривої
4.1.3 Задання кривої в полярній системі координат
Площа криволінійного сектора (рис. 14), обмеженого дугою кривої , де– неперервна функція, а також відрізками променіву полярних координатах виражається формулою (4.8):
A
(4.8)
Рис. 14
Приклад 4.7. Знайти площу фігури, обмеженої лемніскатою Бернуллі: .
Розв’язання. Оскільки , то. Знайдемо ті значення, для яких виконується ця нерівність.
.
При
при
при – зроблено повний зворот, і значення функції повторюються.
Отже
Складемо таблицю значень для(як відстань від точки кривої до полюса):
0 | |||||
9 |
0 | ||||
3 |
2,52 |
2,12 |
0 |
Побудуємо графік кривої, враховуючи симетрію відносно координатних осей (в силу парності та – періодичності функції):
Рис. 15
Приклад 4.8. Знайти площу фігури, обмеженої чотирипелюстковою розою
Розв’язання
Рис. 16
Знайдемо такі значення кута , за яких криваіснує. Оскільки– це відстань від точки кривої до полюса, то. Тому
При:
–зроблено повний зворот, і значення функції повторюється.
Функція зростає, коли, і спадає, коли.
Функція має період. Тому крива у кожному з проміжководержується з кривої, розташованої узворотом на, відповідно. Виконаємо рисунок (рис. 16). Щоб знайти площу фігури, яка обмежена кривою,, достатньо обчислити площу пелюстка, розташованого в, а потім цей результат помножити на 4.
4.2.Обчислення довжин дуг кривих
4.2.1.Декартова система координат
Якщо криву задано рівняннями , деє неперервними функціями на відрізку, то довжина дуги цієї кривої, що міститься між прямимиобчислюється за формулою (4.9)
Рис. 17
Приклад 4.9. Знайти довжину дуги кривої від точки А(1;2) до точки В (4;4).
Розв’язання. Рівняння кривої задано у декартовій системі координат. Функція є визначеною і неперервною разом із своєю похідноюна відрізку. Тому можна застосувати формулу (4.9).
Рис. 18
Складемо вираз =
Приклад 4.10. Знайти довжину дуги кривої від точки з абсцисоюдо точки з абсцисою.
Розв’язання
Рис. 19
Знайдемо похідну
Обчислимо вираз
Застосуємо формулу (4.9)