1.5 Метод хорд

Пусть уравнение (1.1) имеет на отрезке один корень, а функцияна этом отрезке непрерывна. Пусть для определенности функциявозрастает и выпукла вверх, причем и,, что соответствует рисунку 9.

Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что дуга кривой заменяется хордой и ищется точка пересечения хорды с осью абсцисс, которая и берется в качестве следующего приближения к решению.

Рис. 9

Из рисунка видно, что левый конец интервала остается неподвижным, а правый конец выбран в качестве начального приближения к корню: ,. Из уравнения прямой, проведенной через точкииполучим значение, равное абсциссе точки пересечения хорды с осью абсцисс. Корень теперь находится на отрезке. Применяя снова метод хорд, проведем прямую через точкии, получими т.д.. Получаем последовательность приближенных значений, каждый последующий член которой ближе к истинному значению корня, чем предыдущий. Рассмотрим случай, когда функциявозрастает и выпукла вниз, и,, что соответствует рисунку 10.

В данном случае правый конец интервала остается неподвижным, а левый конец выбран в качестве начального приближения к корню: ,. Заметим, что за начальное приближение к корню выбирается тот конец интервала, где функция и вторая производная имеют значения разных знаков, а другой конец, где функция и вторая производная имеют одинаковые знаки остается неподвижным.

Рассмотрим случай, когда функция убывает и выпукла вверх, и,, что соответствует рисунку 11. В данном случае правый конец интервала остается неподвижным, а левый конец выбран в качестве начального приближения к корню:,.

Рис. 10

Рис. 12

Возможен случай, когда функция убывает и выпукла вниз, и,, что соответствует рисунку 12. В данном случае левый конец интервала остается неподвижным, а правый конец выбран в качестве начального приближения к корню:,.

Рис. 11

Рис. 13

Итак, если функциянепрерывна, а вторая производная сохраняет свой знак на отрезке, то уравнениеимеет единственный корень, а последовательностьмонотонно к нему сходится. В качестве нулевого приближения к корню выбирается тот конец интервала, где функция и вторая производная имеют значения разных знаков,, а другой конец, где функция и вторая производная имеют одинаковые знаки остается неподвижным..

На рисунке 13 изображена блок -схема алгоритма уточнения одного корня уравнения (1.1) на отрезке до заданной степени точностиметодом хорд.

1.6 Метод Ньютона (касательных)

Пусть корень уравнения (1.1) отделен на отрезке , причеминепрерывны и сохраняют знаки на всем отрезке. Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой заменяется касательной к этой кривой и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс, которая и берется в качестве следующего приближения к решению уравнения (1.1).

Рис. 14

Предположим, для определенности, что возрастает и выпукла вверх, и,, что соответствует рисунку 14.

Интуитивно ясно, если провести касательную к кривой в точке, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей. Поэтому проведем касательную к кривойв точке, т.е. за начальное приближение к корню возьмем левый конец интервала. Найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью, получим. Корень теперь находится на отрезке. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную в точке, получими т.д.. Получили последовательность приближенных значений, каждый последующий член которой ближе к истинному значению корня, чем предыдущий.

Рис. 15

Рассмотрим случай, когда функция убывает и выпукла вниз, и,, что соответствует рисунку 15. Ясно, если провести касательную к кривойв точке, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей. Поэтому проведем касательную к кривойв точке, т.е. за начальное приближение к корню возьмем левый конец интервала.

Предположим, что возрастает и выпукла вниз, и,, что соответствует рисунку 16. В данном случае за нулевое приближение к корню следует выбрать правый конец интервала, т.е..

Рис. 16.

Рассмотрим случай, когда функция убывает и выпукла вверх, и,, что соответствует рисунку 17. Ясно, если провести касательную к кривойв точке, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей. Поэтому проведем касательную к кривойв точке, т.е. за начальное приближение к корню возьмем левый конец интервала.

Итак, существует общее правило: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка , в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. Метод Ньютона эффективен для решения тех уравнений, для которых значение модуля производнойдостаточно велико, т.е. график функциив окрестности корня имеет большую крутизну. Для условия окончания итерационного процесса может быть использовано условиеили условие близости двух соседних приближений:

Рис. 17.

, где ,.(см. [11]).

На рисунке 18 изображена схема алгоритма уточнения одного корня уравнения (1.1) на отрезке методом Ньютона до заданной степени точности.

Рис. 18.

При оценке эффективности численных методов существенное значении имеют следующие свойства:

• универсальность

• простота организации вычислительного процесса

• скорость сходимости.

С этой точки зрения, наиболее универсальным является метод половинного деления, поскольку он требует только непрерывности функции .

С точки зрения организации вычислительного процесса все методы очень просты.

Наибольшей скоростью сходимости обладает метод Ньютона.