n1

Вопросы для самопроверки

1.Как получить треугольник напряжений и треугольник сопротивлений?

2.В каком случае электрическая цепь имеет активно-индуктивный характер?

3.В каком случае электрическая цепь имеет активно-ёмкостный характер?

4.Что такое активная и реактивная составляющие результирующего напряжения электрической цепи?

5.Что такое общее реактивное сопротивление цепи переменного тока?

6.Что такое полное сопротивление электрической цепи переменного тока?

7.Что такое резонанс напряжений в электрической цепи?

8.Запишите условия резонанса напряжения?

9.Нарисуйте векторную диаграмму параметров последовательной цепи R , L , C при резонансе напряжения?

10.Что такое добротность резонансного контура?

32

11.Что такое волновое сопротивление резонансного контура?

12.Как определить резонансную частоту при резонансе напряжения?

13.Изменением каких параметров цепи можно достигнуть резонанса напряжения.

Построение начинаем с вектора напряжения, так как оно является общим для всех ветвей схемы.

Из векторной диаграммы имеем

33

I = Ia2 + (IL − IC )2 = (G U )2 + (BL U − BC U )2 или I = U Y ,

где Y – полная проводимость цепи

B – общая реактивная проводимость

B = BL − BC .

Векторы токов на диаграмме образуют треугольник токов (рис. 7.3, а). При этом вектор Ia – активная составляющая тока, Ia = U G ; I p – реактивная состав-

ляющая тока, которая определяется как разность длин векторов

I р = I L − IC = BL U − BC U = U (BL − BC )= BU .

Ia = GU

I p = BU

I = YU

Рис. 7.3. Треугольники токов (а) и проводимостей (б)

Разделив все стороны треугольника токов на U , получим треугольник проводимостей (рис. 7.3, б).

Стороны треугольника проводимостей связаны следующими соотношениями:

Угол сдвига фаз φ между напряжением U и током I определяется из треуугольника токов (рис.7.3, а) или треугольника проводимостей (рис. 7.3, б), используя соотношения (7.2).

Векторная диаграмма на рис. 7.2 построена для случая, когда I L > IC . Это имеет место при ВL > ВC , когда в цепи преобладает индуктивность и цепь носит

активно-индуктивный характер. В этом случае общий ток I отстаёт по фазе от входного напряжения на угол ϕ. Возможны также режимы, когда I L < IC и

I L = IC .

Режим, когда в цепи, содержащей параллельно соединенные активное сопротивление, индуктивность и ёмкость, ток совпадает по фазе с напряжением называют резонансом тока. Это означает, что входная реактивная проводимость в цепи равно нулю:

B = BL − BC = 0 или BL = BC .

В этом случае I L = IC и цепь носит чисто активный характер, т.е. Y = G и сдвиг фаз отсутствует ( ϕ = 0 ).

Рассмотрим более подробно резонанс токов. Для того чтобы ток I в неразветвлённой части цепи совпадал по фазе с напряжением источника, реактивный ток индуктивной ветви I L должен быть равен реактивному току ёмкостной ветви

34

IC , т.е. I L = IC . В этом случае эти токи, находясь в противофазе, компенсируют

друг друга. В итоге весь ток, подходящий к разветвленной цепи, носит активный характер. Это видно из векторной диаграммы, представленной на рис. 7.4.

IC IL

Рис. 7.4. Векторная диаграмма параллельной цепи при резонансе токов

Полное сопротивление цепи переменного тока равно Z = Y1 . В тоже время

полная проводимость цепи при резонансе токов равна

Y = G2 + (BL − BC )2 = G 2 + 02 = G .

Так как при резонансе токов BL = BC , то соответственно

1 = 2πfC .

2πfL

При этом условии частота f , при которой наступает резонанс токов, практически совпадает с собственной частотой f0 контура. Следовательно,

Величину X L = CL = ZB называют волновым сопротивлением контура.

Таким образом, ток в неразветвлённой части цепи, т. е. ток источника питания совпадает по фазе с напряжением источника и достигает минимального значения, равного величине активного тока, определяемым значением величины R. В тоже время реактивный ток в катушке индуктивности равен реактивному ёмкостному току, причём эти токи могут во много раз превышать ток источника питания.

Пример. Для цепи, представленной на рис. 7.5, рассчитать токи, угол сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи, построить векторную диаграмму.

Дано: U = 48 В, R = 30 Ом, L = 6 мГн, C = 79,6 мкФ, f = 50 Гц.

35

I

Y= G2 + (BL − BC )2 = 0,0332 + (0,053 − 0,025)2 =

=0,00109 + 0,00078 = 0,043 См,

I = U Y = 48 ×0,043 = 2,1 А.

Решение задачи выполнено правильно.

36

Вопросы для самопроверки

1.Как определить общую реактивную проводимость электрической цепи переменного тока?

2.Как определить активную проводимость электрической цепи?

3.Как получить треугольник токов и треугольник проводимостей?

4.Как определить полную проводимость электрической цепи переменного тока?

5.Что такое активная составляющая результирующего тока электрической цепи?

6.Что такое реактивная составляющая результирующего тока электрической цепи?

7.Что такое резонанс токов в электрической цепи?

8.Запишите условие резонанса токов?

9.Как определить резонансную частоту при резонансе токов?

9. Изменением каких параметров цепи можно достигнуть резонанса токов?

11.Нарисуйте векторную диаграмму параметров параллельной цепи из ветвей R , L , C при резонансе токов?

12.Как определить полную проводимость и полное сопротивление контура при резонансе токов?

ЛЕКЦИЯ № 8 ЭНЕРГИЯ И МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Пусть на некотором участке цепи, напряжение на зажимах которого равно u , током i за время dt переносится электрический заряд величиной dq = i dt . За-

трачиваемая источником энергия равна при этом dW = u dq = u i dt , а развивае-

мая мощность p = dWdt = u i . Эта величина называется мгновенной мощностью

иопределяет скорость и направление движения энергии на рассматриваемом участке.

Энергия, поступающая от источника в цепь, может не возвращаться к источнику, а необратимо преобразовываться в тепло или механическую работу. Количество этой энергии в общем виде определяется законом Джоуля – Ленца

иза время, равное периоду синусоидального тока, составит

Эта величина, отнесённая ко времени T , определяет среднее значение мгновенной мощности за период и называется активной мощностью

Физически активная мощность представляет собой энергию, выделяющуюся в виде тепла или механической работы в единицу времени.

Пусть ток и напряжение на входе цепи описываются выражениями

Подставляя уравнения (8.2) в (8.1) и интегрируя, получим

37

P = U I cos ϕ .

Активную мощность можно вычислить также по формулам:

P = I 2 Z cos ϕ = I 2 R = U 2 Y cos ϕ = U 2 G = Ua I = U Ia .

Рассмотрим теперь энергетические процессы, происходящие на элементах

R,L и С.

Вактивном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе ( ϕ = 0 ).

Влюбой момент времени их знаки одинаковы, мгновенная мощность положительна, т. е. в активное сопротивление постоянно поступает энергия электрического тока, преобразуясь в тепловую или механическую.

Активная мощность

В реактивных элементах угол сдвига фаз по величине равен 900 . В индуктивности, при отстающем токе, он положителен, а в ёмкости, при опережающем токе, – отрицателен. Подставляя ϕ = ±90° в выражение напряжения на

входе цепи u = Um sin(ωt + ϕ), получим

u = Um sin(ωt ± 90°) = ±Um cosωt .

При таком напряжении мгновенная мощность в реактивных элементах колеблется с двойной частотой, изменяясь по синусоидальному закону, т. е. дважды за полпериода меняет знак:

Подставив выражение (8.4) в (8.1), получим P = 0 .

Равенство нулю активной мощности означает, что в реактивных элементах не происходит необратимого преобразования электромагнитной энергии в тепловую и механическую.

Волновая диаграмма процессов в индуктивности представлена на рис. 8.1.

При возрастании тока от нуля до Im (в течение первой четверти периода –

900) в магнитном поле индуктивности накапливается энергия источника, т. е. при одинаковых знаках напряжения и тока мгновенная мощность P положи-

38

тельна. Это означает, что энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля катушки индуктивности

= L I 2

WM 2m .

В течение следующей четверти периода (от π2 до π ), когда ток уменьша-

ется до нуля, эта энергия из магнитного поля катушки возвращается во внешнюю цепь, т. е. в источник. В этот период при разных знаках тока и напряжения мгновенная мощность P отрицательна. В следующую четверть периода процесс передачи энергии источником повторяется и т. д.

В ёмкости аналогично индуктивности происходят процессы обмена энер-

гии (рис.8.2). Вначале, в течение одной четверти периода (900) – от π2 до π ,

когда напряжение на обкладках конденсатора возрастает от нуля до Um , кон-

денсатор заряжается, и в его электрическом поле накапливается энергия источника. В этот период энергия источника преобразуется в энергию электрического поля конденсатора, причём при одинаковых знаках напряжения и тока мгновенная мощность P в это время положительна

уменьшается до нуля, и накопленная энергия в электрическом поле конденсатора возвращается во внешнюю цепь, т. е. в источник. В этот период при разных знаках тока и напряжения мгновенная мощность P отрицательна. В следующую четверть периода процесс передачи энергии источником повторяется и т. д.

Эти энергии магнитного и электрических полей, которые обмениваются с цепью, называются энергией обмена.

39

Для энергии магнитного поля WM и электрического поля WЭ можно запи-

Величины QL = I 2 X L и QC = I 2 X C называются реактивной мощностью

индуктивности и реактивной мощностью ёмкости. К работе, совершаемой переменным током, они отношения не имеют. Эти величины пропорциональны энергии магнитного и электрического полей:

QL = ωWM и QC = ωWЭ .

В цепи, содержащей одновременно индуктивность и ёмкость, колебания энергии происходят таким образом, что в те моменты времени, когда магнитное поле индуктивности накапливает энергию, электрическое поле ёмкости энергию отдаёт, и наоборот. Таким образом, когда энергия магнитного поля положительна, энергия электрического поля отрицательна. В результате суммарная энергия магнитного и электрического полей за четверть периода (900)

где Q – реактивная мощность цепи, которая пропорциональна суммарной энергии WЭM и может быть определена через реактивные сопротивления:

Q = QL − QC = I 2 (X L − X C ) = I 2 X .

При анализе электрических цепей используют треугольник мощностей (рис.8.3), который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока.

В результате будут справедливы следующие соотношения:

ной мощности, которую можно получить при заданных значениях напряжения и тока.

Полная мощность определяется той электрической энергией, которая выбрасывается генератором и отдаётся в цепь. Она характеризует габариты машины и аппаратов. Величина напряжения определяет уровень изоляции: её толщину и расстояние между токоведущими частями, а ток – поперечное сечение проводника и условное охлаждение машины.

40