n1

21

2. Метод векторных диаграмм наиболее удобен при решении сложных задач.

Вопросы для самопроверки

1.Какая связь существует между частотой f синусоидального тока и угловой частотой вращения ω вектора, изображающего этот ток?

2.Какой параметр переменного синусоидального тока необходимо знать дополнительно, чтобы по векторной диаграмме получить полное представление о переменном токе?

3.Какая из приведённых формул i = Im sin(ωt + 40°) и i = Im sin(ωt + 130°)

правильно отражает векторную диаграмму?

40°

4. На какой диаграмме правильно определена сумма векторов I1 + I2 = I ?

или

5. На какой диаграмме правильно найдена разность векторов I1 − I2 = I ?

или

6. На какой диаграмме правильно определён угол сдвига фаз ϕ между i = Im sin(ωt −ψi ) и u = Um sin(ωt +ψ u )?

7.Как записать 1-й и 2-й законы Кирхгофа для электрических цепей синусоидального тока через мгновенные значения тока и напряжения?

8.Как записать 1-й и 2-й законы Кирхгофа для электрических цепей синусоидаль-

22

ного тока в векторной форме?

9.Справедливы или нет законы Кирхгофа для показаний приборов в цепях синусоидального тока?

10.Какой метод наиболее удобен при решении сложных задач электротехники?

ЛЕКЦИЯ № 5

ПОНЯТИЯ ОБ АКТИВНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ R, ИНДУКТИВНОСТИ L И ЕМКОСТИ C В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Все физические процессы в цепях переменного тока делятся:

1)на преобразование электромагнитной энергии в тепловую, механическую и химические энергии;

2)образование магнитного поля вокруг проводников с током;

3)образование электрического поля вблизи заряженных проводников.

5.1.Понятие об активном сопротивлении в цепях переменного тока

Активным сопротивлением называется параметр электрической цепи, характеризующий электромагнитную энергию WТ , которая необратимо преобразуется

в тепловую или механическую энергии. Величина сопротивления определяется как

R = IW2TT .

R

i uR

Рис. 5.1. Обозначения активного сопротивления

На схеме активное сопротивление обозначается так же, как и сопротивление постоянному току (рис. 5.1).

В цепях постоянного тока R называют омическим сопротивлением. Оно определяется структурой кристаллической решётки проводника и состоянием свободных электронов.

Наличие вблизи его каких-либо проводящих тел и ферромагнитных сердечников на омическое сопротивление не влияет.

Иначе обстоит дело в цепях переменного тока.

При невысоких частотах сопротивление проводника мало отличается от сопротивления постоянному току. Но с повышением частоты всё сильнее и сильнее сказывается «поверхностный эффект», заключающийся в вытеснении переменного тока из серединных областей проводника к его поверхности. Это приводит к уменьшению сечения, занимаемого током; увеличению сопротивления и возрастанию тепловых потерь.

Мгновенные значения напряжения и тока в активном сопротивлении связаны

23

законом Ома:

uR = R i или i = uRR = G uR ,

где G – активная проводимость, G = R1 .

При изменении тока по синусоидальному закону i = Im sin(ωt + ψ) напряже-

ние тоже изменяется синусоидально и имеет с током одинаковые начальные фазы:

Отсюда

URm = R Im или Im = URRm = G URm .

Разделив два последних уравнения на 2 , получим действующие значения величин

UR = R I , I = URR = GUR .

На рис. 5.2 показаны волновая (а) и векторная (б) диаграммы, построенные по формулам (5.1) и (5.2).

Рис. 5.2. Волновая (а) и векторная (б) диаграммы для активного сопротивления

Таким образом, в активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе, их начальные фазы одинаковы, угол сдвига фаз равен нулю. Векторы на векторной диаграмме направлены в одну сторону.

5.2. Понятие об индуктивности в цепях переменного тока

Явление возникновения эдс в контуре при пересечении его магнитным полем называется электромагнитной индукцией.

При всяком изменении тока в проводнике электрической цепи, в том числе при включении и выключении цепи, магнитное поле, окружающее проводник, будет изменяться. При пересечении проводника своим же собственным магнитным полем в нём возникает эдс, называемая эдс самоиндукции. Она имеет реактивный характер. Так, например, при увеличении тока в цепи эдс самоиндукции будет направлена против эдс источника напряжения, поэтому ток в цепи не может устано-

24

виться сразу, т. е. перестать увеличиваться. И, наоборот, при уменьшении тока в цепи индуктируется эдс самоиндукции такого направления, что, ме-

шая току исчезать, она поддерживает этот убывающий ток. На рис. 5.3 показано

L

i

eL

uL

Рис. 5.3. Обозначение индуктивности

обозначение индуктивности на электрической схеме.

Магнитное поле в катушке создаётся током i и характеризуется магнитным потоком ФL , который называют потоком самоиндукции. Индуктируемая в катушке ЭДС eL называется эдс самоиндукции. Она определяется по формуле

где W – количество витков катушки.

В свою очередь величина Ψ пропорциональна протекающему по катушке току

где L – коэффициент пропорциональности между Ψ и i .

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью катушки. Она зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Её размерность определяется как

Вс× А = Ом × с = Гн( генри ).

Подставляя выражение (11.4) в (11.3) и полагая L = const, получим формулу,

Знак минус в правой части формулы (5.5) обусловлен принципом Ленца, определяющим направление индуктивной эдс: «эдс самоиндукции направлена так, что своим действием препятствует причине, вызвавшей её появление (т.е. току i )».

Закон Ленца: эдс, наводимая в контуре изменяющимся магнитным потоком, всегда стремится вызвать ток, направленный так, чтобы воспрепятствовать изменению магнитного потока.

Таким образом, причина появления эдс самоиндукции – изменение тока. Поэтому при возрастании тока она направлена ему навстречу, а при уменьшении тока – в одну с ним сторону.

Препятствуя изменению тока эдс самоиндукции, eL таким образом, оказывает ему сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается X L . Фор-

25

мула, определяющая индуктивное сопротивление, Ом, имеет вид

X L = ωL = 2π f L .

В цепях постоянного тока понятия индуктивного сопротивления нет, так как при постоянных магнитных полях эдс самоиндукции не возникает.

Напряжение на зажимах катушки при протекании по ней синусоидального тока i = Im sin(ωt + ψ) будет равно

uL = −eL = L didt ,

отсюда

di = d(Im sin(ωt + ψ)) = Im ωcos(ωt + ψ), dt dt

uL = L Im ωcos(ωt + ψ) = ULm sin(ωt + ψ + 90°),

где ω L = X L , а Im XL = ULm.

После деления ULm и Im на 2 аналогичное выражение получается для дей-

Уравнения, связывающие напряжение и ток в индуктивности как в вещественных, так и в комплексных числах, представляют собой закон Ома для индуктивности.

Начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на 90°. Таким образом, в индуктивности ток отстаёт от напряжения на 90°. На рис. 5.4 представлены векторные диаграммы токов и напряжений в индуктивности на обычной координатной плоскости без ψi (а) и при наличии его (б)

Рис. 5.4. Векторные диаграммы токов и напряжений в индуктивности на координатной плоскости без ψi (а) и при наличии его (б)

26

5.3. Понятие о емкости в цепях переменного тока

Система из двух проводящих тел, разделённых диэлектриком, образует конденсатор. Эти проводящие тела называются обкладками конденсатора. Если к ним подключить источник энергии, то на них будет накапливаться заряд q, пропор-

циональный напряжению на конденсаторе uC ,

При возрастании напряжения от нуля до максимального значения конденсатор заряжается, на его обкладки от источника поступает электрический заряд. При уменьшении он разряжается, заряд стекает с конденсатора. Таким образом, в проводах постоянно двигается электрический заряд, т. е. протекает ток (процессы между обкладками конденсатора не рассматриваем). Таким образом, величина тока определяется зарядом, прошедшим в единицу времени через поперечное сечение проводника

27

На рис. 5.6 представлены векторные диаграммы токов и напряжений в ёмкости на координатной плоскости без ψi (а) и при наличии его (б)

Рис. 5.6. Векторные диаграммы напряжения и тока в ёмкости на координатной плоскости без ψu (а) и при наличии его (б)

Таким образом, в ёмкости ток опережает напряжение на 90°.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется активным сопротивлением цепи переменного тока?

2.Что называется активной проводимостью цепи переменного тока?

3.В чём смысл понятия «поверхностный эффект» для активного сопротивления?

4.Что называется индуктивным сопротивлением цепи переменного тока?

5.Что называется электромагнитной индукцией?

6.В каких случаях возникает индуктивная эдс самоиндукции?

7.От чего зависит направление индуктивной эдс самоиндукции?

8.В чём выражается действие индуктивности, включённой в цепь переменного тока?

ЛЕКЦИЯ № 6

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, C И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Дана последовательная цепь из R, L и C (рис. 6.1). Цепь такого вида часто на-

зывают последовательным колебательным контуром. В этой цепи заданы: приложенное напряжение U , частота f и числовые значения параметров R, L , C . Тре-

буется найти ток и напряжение на элементах.

Решение этой задачи выполняем на основе построения векторной диаграммы, с физическим смыслом которой познакомились в лекции 5. В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток. Поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы последовательной электрической цепи.

На рис.6.2 изображаем вектор тока, например, горизонтально, хотя его направление можно выбирать произвольно. Выбор горизонтального направления диктуется соображениями удобства. Далее строятся векторы напряжений на всех элементах. В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно получить вектор входного напряжения:

28

U = UR +UL +UC .

R UR

Сложение векторов удобнее выполнять по правилу многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.

Известно, что напряжение на активном сопротивлении R совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR направлен по вектору тока I . К его концу пристраиваем вектор UL и направляем его вверх под углом 90°, так как напряжение на индуктивности UL опережает ток на 90°. Напряжение на ёмкости UC находится в противофазе с U L , т. е. отстаёт от тока на 90°, поэтому вектор UC , пристроенный к концу вектора UL , направлен вниз. Сумма векторов UR + UL + UC даёт

вектор напряжения U .

Величины напряжений на отдельных элементах цепи известны согласно закону Ома

UR = I R , UL = I X L , UC = I XC .

Согласно теореме Пифагора из треугольника oab находим

U = UR2 + (UL −UC )2 = (I R)2 + (I X L − I XC )2 = I Z , (6.1)

где Z – полное сопротивление цепи,

Z = R2 + (X L − X C )2 = R2 + X 2 ;

X – общее реактивное сопротивление,

X = X L − XC .

Сами индуктивность L и ёмкость C называются реактивными элементами, их сопротивления X L и XC тоже называются реактивными.

Выражение (6.1) отражает закон Ома для всей цепи и поэтому его можно записать как

I = UZ = U Y ,

где Y – полная проводимость цепи,

Y = Z1 .

Угол сдвига фаз между напряжением U и током I определяется из треуголь-

29

ника напряжений oab или треугольника сопротивлений:

UL = UC .

Алгебраическая сумма падений напряжений на элементах цепи в вольтах не равна входному напряжению, приложенному к цепи.

Для численных значений токов и напряжений в цепи законы Кирхгофа неприменимы. Они применимы только для мгновенных значений и векторов. Показания приборов в цепях переменного тока складывать нельзя.

Исходя из векторной диаграммы на рис. 6.2 изобразим отдельно треугольник oab , являющийся частью её. Этот треугольник называется треугольником напряжений (рис. 6.3, а).

Рис. 6.3. Треугольники напряжений (а) и сопротивлений (б)

Проекция вектора напряжения U на вектор тока I называется активной составляющей напряжения, обозначается Ua и равна падению напряжения на ак-

тивном сопротивлении

Ua = UR = I R.

Реактивная составляющая напряжения U p – это проекция вектора напряжения

на направление, перпендикулярное вектору тока, она равна падению напряжения на суммарном реактивном сопротивлении цепи

U p = U = U L −UC = I(X L − XC ) = I X .

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ток, то получим подобный ему треугольник сопротивлений, которому соответствуют формулы:

Режим, когда в цепи, содержащей последовательно соединенные активное сопротивление, индуктивность и ёмкость, ток совпадает по фазе с напряжением называют резонансом напряжения. Это означает, что входное реактивное сопротивление в цепи равно нулю:

X = X L − XC = 0 или X L = XC .

30