n1

11

Подставим в (2.5) величины заданных сопротивлений и эдс

50 I11 − 15 I22 − 25 I33 = −100;

-15 I11 + 65 I22 - 30 I33 = 200;

-25 I11 - 30 I22 + 90 I33 = 0.

Решим полученную систему на ЭВМ или ручным способом путём расчёта определителей , 11, 22, 33 по формулам Крамера.

Получим I11 = −0,4570 А, I22 = 3,4425 А, I33 = 1,0206 А.

4. Выразим токи в ветвях через контурные. Направления токов в ветвях выберем такими же как и в предыдущем примере (см. рис. 2.2).

Тогда получим

I1 = I11 = −0,4570 А,

Отметим, что при определении токов I2 , I4 и I5 учитывалось, что контур-

ный ток, совпадающий с током в ветви, берётся со знаком «+», не совпадающий

– со знаком «–». При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.

Правильность расчёта проверим по балансу мощностей. Мощность источников тока определим по формуле, составленной согласно схеме на рис. 2.2.

Pи = Е1I1 − Е2I2 = 100(− 0,4570)− 200(− 3,8995) = 734,2 Вт.

Мощность потребителей (нагрузок) найдём по формуле

6

Рн = å Rk Ik2 = 10(− 0,4570)2 + 15(− 3,8995)2 + 20(− 3,4425)2 +

k =1

+ 25(1,4775)2 + 30(− 2,4219)2 + 35(1,0206)2 = 734,1961 Вт.

Относительная ошибка δ должна быть меньше наперёд заданного числа, например, 5 %:

d = Ри - Рн 100% = 5,24 ×10-4 % < 5% .

Ри

12

Вопросы для самопроверки

1.В чём заключается сущность метода расчёта сложных электрических цепей по законам Кирхгофа?

2.Чему равно число уравнений, составляемых по 1-му закону Кирхгофа?

3.Чему равно число уравнений, составляемых по 2-му закону Кирхгофа?

4.Каким методом математически можно решать систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа?

5.В чём заключается сущность метода контурных токов?

6.Чему равно число уравнений в этом методе расчёта?

7.Каким методом математически можно решать систему уравнений, составленную по неизвестным контурным токам?

8.Как проверить правильность расчёта сложных электрических цепей?

9.Чему равна мощность источников эдс?

10.Чему равна мощность потребителей (нагрузок)?

ЛЕКЦИЯ № 3 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Вэлектротехнике переменный ток применяется более широко, чем постоянный. Это связано с возможностью легко преобразовать его для передачи на расстояние и потребления в народном хозяйстве.

Переменным током называют ток, который изменяется во времени по величине и направлению. Чаще всего переменный ток в электротехнике может быть однофазным и трёхфазным.

3.1.Переменный однофазный синусоидальный ток

Втехнике широко используются процессы, изменяющиеся по периодическому закону.

Однофазный синусоидальный ток представляет собой переменный ток, изменяющийся во времени по периодическому закону, каковым является синусоидальный закон (его называют ещё гармонический закон). График его представлен в виде колебательного процесса на рис. 3.1.

13

В таком процессе мгновенные значения тока повторяются через равные промежутки времени Т. В этом случае закон изменения синусоидального тока выражается функцией вида

i = Im sin(t + kT ),

где i – мгновенное значение тока, т. е. значение тока в данный момент времени; Im – максимальное значение тока, называемое амплитудой; Т – период колеба-

ния тока, т. е. интервал времени в секундах (с), за которое совершается одно полное колебание; k – любое целое число.

На основе понятия периода Т вводится понятие частоты f, 1с ,

Частота – это число периодов колебаний какого либо процесса (тока, напря-

жение и др.) за одну секунду. Измеряется частота в герцах (Гц). Итак 1 Гц = c1 .

Втеории электротехники ось времени (ось аргумента) часто представляют не

всекундах (единица времени), а в углах. Для их измерения используют безразмерную радианную величину.

Радиан есть мера измерения угла поворота единичного радиуса (r = 1) круга. В то же время круг является одним полным колебанием (периодом) какого-либо процесса.

Вгеометрии радиан – это центральный угол α для дуги, длина l которой

равна радиусу r, т. е. при r = l α = 1 радиан (рад). При этом величина центрального угла α в произвольном круге определяется как отношение длины дуги l, на которую этот угол опирается, к радиусу r , т. е. α = l / r . В круге с радиусом r = 1 (единичном круге) радианная мера угла равна длине дуги, которую вырезают стороны этого угла, т. е. α = l/ r = l/1= l. Полный поворот радиуса в круге будет равен центральному углу α в 3600, опирающемуся на дугу, равную длине L всей ок-

ДL , где L - длина ок-

ружности любого круга, а Д - диаметр этого круга, равный 2 r. Отсюда в единичном круге при r = 1 L = 2π = 6,28, а следовательно и α = L = 6,28. В результате, радианная мера полного центрального угла α равна 2π = 6,28 рад., Таким образом, α = 1 рад. = 3600 / 6,28 = 57017/45// (примерно 1/6 часть круга). Существуют формулы перехода от градусной меры в радианную и наоборот:

αрад = α ° × π 180° и α ° = αрад ×180°π .

Рассмотрим более подробно физический смысл колебания, представленного на рис. 3.2.

Известно, что одно полное колебание какого-либо процесса можно представить в виде одного оборота радиуса-вектора om на угол 3600, т. е. на один круг. В то же время в круг можно поместить прямоугольный треугольник оnk с гипотенузой с, равной радиусу r круга, и его вершиной о в центре круга.

14

На рис. 3.2 a и b – катеты прямоугольного прямоугольника оnk; с – гипотенуза треугольника, равная радиусу круга; α – центральный угол, образованный катетом b и гипотенузой c; mn – дуга, на которую опирается центральный угол α .

Следовательно, если прямоугольный треугольник расположен в окружности с радиусом, равным его гипотенузе так, что одна из его вершин находится в центре круга, то синусоидальная функция угла является тригонометрической круговой функцией, т. е. функцией центрального угла α , заключённого между прилежащим катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Таким образом, одно полное колебание какого-либо процесса (тока, напряжения и т. д.) будет равно повороту центрального угла в 2π радиан, или иначе будет происходить за 2π секунд.

В теоретической электротехнике вводится понятие круговой или циклической частоты ω, рад/с, которая понимается как угловая скорость вращения радиусавектора. Она равна углу α поворота радиуса-вектора в единицу времени t . За один полный поворот (один круг) в 2π радиан радиус-вектор будет иметь один период вращения продолжительностью T секунд

Итак, круговая частота переменного тока, рад/с, – это число периодов колебания тока за 2π секунд.

В результате введения понятия круговой частоты ω график синусоидального тока в виде волновой диаграммы (см. рис. 3.3) можно изобразить через радианное измерение аргумента (независимой переменной величины).

Рис. 3.3. График синусоидального тока в виде волновой диаграммы

15

Аналогично определяется среднее значение переменного напряжения

Uср = 2πUm = 0,638 Um .

3.2.3. Коэффициент амплитуды и формы

Коэффициент амплитуды представляет собой отношение амплитуды периодически изменяющейся функции к её действующему значению.

Так, для синусоидального тока

Ka = IIm = 2 =1,41.

Коэффициент формы – это отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к её среднему значению за полпериода.

Так, для синусоидального тока

π

Коэффициенты амплитуды Ka и формы Kф для несинусоидальных периодических токов и напряжений будут не равны своим значениям для синусоидальной функции, т.е. Ka ¹ 2 =1,41 и Kф ¹1,11. Отличие Ka от 1,41 и Kф от 1,11 по-

зволяет судить о том, насколько несинусоидальный ток или напряжение отличается (искажается) от синусоидального.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется переменным током?

2.Что называется периодом переменного тока?

3.Что называется частотой переменного тока и в каких единицах она измеряется?

4.Что такое угловая или циклическая частота переменного тока и в каких единицах она измеряется?

5.Что такое фаза переменного тока?

6.Что такое начальная фаза переменного тока?

7.Что называется амплитудным и мгновенным значением переменного тока?

8.Что называется действующим значением переменного тока?

9.Что называется средним значением переменного тока?

10.Как определяется коэффициент амплитуды переменного тока?

11.Как определяется коэффициент формы переменного тока?

ЛЕКЦИЯ № 4

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА И ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ЕГО ЦЕПЯХ

Синусоидальный ток можно задать тремя различными формами:

1)математическим уравнением,

2)волновой диаграммой,

17

18

4.3. Представление переменного синусоидального тока волновой диаграммой

График синусоидального тока можно изобразить в виде волновой диаграммы, представленный на рис. 4.3.

На волновой диаграмме указана начальная фаза, которая определяется углом ψ, измеряемым от ближайшей к началу координат точки перехода синусоиды через ноль до точки начала координат. Начальная фаза ψ положительна в тех случаях, когда начало синусоиды смещено от точки ноль (начало координат) влево и наоборот – отрицательна, когда смещена вправо.

i

Im

ψ

Рис. 4.3. Волновая диаграмма синусоидального тока

Примеры перехода от одной формы задания к другой:

ψ

45° 135°

4.4. Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока и методы расчёта этих цепей

Для мгновенных значений эдс, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

Второй закон Кирхгофа: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура

19

где m – число ветвей, образующих контур.

Токи, напряжения и эдс, входящие в уравнения (4.1) и (4.2), есть синусоидальные функции времени, которые рассматриваются как проекции определённых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Кирхгофа в векторной форме

Следовательно, возможны два способа расчёта цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям (4.1) и (4.2) и применение метода векторных диаграмм, основанного на уравнениях (4.3).

Рассмотрим применение первого закона Кирхгофа для решения цепей синусоидального тока.

4.4.1. Применение метода расчёта непосредственно над синусоидальными функциями

одинаковой частоты есть тоже синусоида той же частоты. Её амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

20