Федеральное агентство по образованию

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Табарин кандидат технических наук, доцент В.В. Проботюк

Кулак,С.М.

Общая физика. Механика. Молекулярная физика. Лабораторный практикум [Текст]: учебное пособие / С.М.Кулак, В.Ф. Новиков, Д.Ф. Нерадовский, А.Г. Заводовский, А.А. Орёл, Э.Г. Невзорова, Н.И. Верлан, Л.К. Габышева /под общей редакцией В.Ф. Новикова.– Тюмень:

ТюмГНГУ, 2010.– 136с.

ISBN

Учебное пособие содержит описание лабораторных работ по разделам “Механика” и “Молекулярная физика” курса общей физики. В каждую работу включены необходимый минимум теоретического материала, описание и принцип работы экспериментальных установок, методика проведения эксперимента и порядок обработки результатов измерений. Приведён перечень контрольных вопросов и рекомендуемый список учебной литературы.

Учебное пособие предназначено для студентов заочной и очной форм обучения, изучающих дисциплину “Общая физика” в технических вузах.

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73

2

ОСНОВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

В основе физической науки лежат измерения. Данные о численных значениях физических величин, о количественных зависимостях между ними находятся либо путем проведения соответствующих опытов, либо устанавливаются теоретически. Во всех этих случаях приходится иметь дело с измерениями.

Под измерением понимается определение значения какой-либо величины с применением технических средств мер, измерительных приборов или комплексов. Мера есть средство измерений, воспроизводящее физическую величину заданного размера (единицу измерения), ее кратное или дробное значение (например, 1 кг, 5 кг, 200 г).

Измерительный прибор есть средство измерений, предназначенное для получения сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного наблюдения. Различают два типа измерений физических величин прямые и косвенные. При прямом измерении значение искомой величины непосредственно определяется с помощью прибора. Например, размеры тела можно измерить линейкой, штангенциркулем, микрометром; массу тела взвешиванием на весах; мощность тока ваттметром и т.п.

При косвенном измерении значение искомой физической величины находят, основываясь на результатах прямых измерений других физических величин, с которыми эта величина связана известной функциональной зависимостью. Например, объем прямоугольного параллелепипеда можно определить вычислением, пользуясь результатом прямых измерений длин сторон. Значения ряда физических величин определяют путем как прямых, так и косвенных измерений. Например, мощность тока можно непосредственно измерить ваттметром, а можно вычислить ее по результатам измерений силы тока амперметром, а напряжения вольтметром.

Особенностью измерения является принципиальная невозможность получения результатов, в точности равных истинному значению измеряемой величины. Это приводит к необходимости оценивать степень близости результатов измерений к истинному значению измеряемой величины, т.е. оценивать погрешность измерений.

В теории ошибок показывается, что наиболее близким к истинному значению является среднее арифметическое

где Аi - значение измеряемой величины в i -ом опыте, n – количество измерений. Чем больше n, тем точнее <А> приближается к истинному значению измеряемой величины.

3

Разность между средним значением и измеряемой величиной в i–ом опыте Аi = <A> Ai называется абсолютной погрешностью i-го измерения. Она является размерной величиной и указывает на отклонение от среднего. Погрешности измерений зависят от многих причин. По их характеру различают систематические, случайные и грубые погрешности.

Систематические погрешности связаны с точностью изготовления прибора, неправильной установкой прибора, выбором метода измерений, пренебрежением действия некоторых внешних факторов. Например, они могут возникнуть, если не учитывать архимедову силу при взвешивании; шкала линейки может быть нанесена неравномерно; положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре и т.п. Так как причины, вызывающие систематические погрешности, в большинстве случаев известны, то эти погрешности, в принципе, могут быть исключены введением поправок к показаниям приборов, изменением метода измерений и т.д., хотя на практике этого не всегда легко добиться. С каждым измерительным прибором связана приборная погрешность. Часто приборная погрешность, входящая в состав систематической, является определяющей. Обычно, если нет оговорок в паспорте прибора, за приборную погрешность берут половину цены деления шкалы. Для приборов, снабженных нониусами, а также для приборов, стрелки которых перемещаются "скачками", приборная погрешность принимается равной цене наименьшего деления шкалы. Для величин, численное значение которых приводится без указания значения погрешности, ошибка принимается равной половине единицы наименьшего значащего разряда. Например, m = 1,62 кг, тогда погрешность берется равной m = 0,005 кг и окончательный результат запишется в виде: m = (1,620 0,005) кг.

Элементарная теория погрешностей к систематическим ошибкам относит и результат округления чисел. Например, полагая равным 3; 3,1 или 3,14, мы получаем относительную ошибку , соответственно равную 4,5%, 1,3% и 0,05%. Поэтому значения констант типа , g и т.п. рекомендуется брать в расчетах с точностью до сотых.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных факторов, действие которых на каждое отдельное измерение различно и не может быть заранее учтено. Например, они могут вызываться сотрясениями фундамента зданий, изменениями электрических и магнитных полей, колебаниями давления и температуры и т.д. Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, однако можно уменьшить их влияние на окончательный результат, увеличив число измерений.

Грубые погрешности возникают в результате просчета, неправильного снятия показания прибора и т.п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов и поэтому хорошо заметны. Их обычно исключают.

4

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Для серии из n опытов случайные погрешности оценивают или по методу "средних" либо методом Стьюдента, связанным с функцией распределения случайных величин, за которые принимаются ошибки отдельных измерений.

В методе “средних” случайная погрешность находится как среднее арифметическое абсолютных значений погрешностей отдельных измерений

Здесь tр,n коэффициент Стьюдента, который указывает, что истинное значение измеряемой величины А лежит c заданной доверительной вероятностью P в интервале от <А> А до <А> + А, называемым доверительным интервалом. В физическом эксперименте обычно берется вероятность Р =0,95. Для этой вероятности в таблице 1 приведены значения коэффициентов Стьюдента:

Точность измерений оценивается величиной δA AA , которое

называется относительной погрешностью серии из n измерений. Чем меньше А, тем точнее результат. Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Окончательный результат измерений записывается в виде

5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В случае косвенных измерений, когда А = f(В, С, ..., Q), среднее значение <А> определяется по известной функциональной зависимости на основе средних значений аргументов:

<A> = f(<B>, <C>, ..., <Q>) . (6)

Из свойств дифференциала логарифма функции f

вытекает алгоритм получения формулы для подсчета относительной ошибки косвенных измерений:

1.Логарифмируется исходная формула.

2.Полученное выражение дифференцируется.

3.Знак дифференциала d заменяется на знак приращения . При этом все знаки " " меняются на "+", т.к. ошибки измерений накапливаются по мере увеличения числа измеряемых величин.

По найденной относительной погрешности А находится абсолютная погрешность А = А <A>.

В качестве примера выведем формулу для расчета относительной ошибки V косвенно измеряемой величины объема цилиндра V,

вычисляемого по формуле V D4 2 h , где D и h - диаметр и высота

цилиндра, которые определяются в результате прямых измерений.

1. В соответствии с алгоритмом прологарифмируем формулу для

Если принять =3.14, то ошибкой можно пренебречь. Окончательно получим

Перед окончательной записью результатов измерений в соответствии с выражением (5), производится их округление. Округление начинается с абсолютной погрешности до первой значащей цифры. При этом

6

округление среднего значения измеряемой величины производится до того же самого порядка, до которого округляется абсолютная погрешность.

Например, если А = 0,0345, то ее округленное значение будет 0,03 и округление среднего значения измеряемой величины <А> следует проводить до сотых. Однако, если первая значащая цифра равна 1, то округление величины А следует проводить до следующей значащей цифры. Например, А = 1,287. Тогда округленное значение А берется равным 1,3 и округление <А> проводится до десятых.

В таблице 2 приведены некоторые формулы для подсчета абсолютной и относительной погрешности косвенных измерений

Результаты измерений часто представляются в виде графика. Метод построения графика непосредственно связан с методом обработки результатов измерений. При статистической обработке результатов измерений график (линия, кривая) строится методом наименьших квадратов при помощи ЭВМ. В методе "средних" график строится так, чтобы сумма расстояний от точек до кривой, лежащих выше, была равна сумме аналогичных расстояний для точек, лежащих ниже. При этом сумма отклонений должна быть минимальна. Разброс точек определяет погрешность измерений.

В методе “средних” графическая зависимость чаще всего представляется в виде прямой, т.к. ее можно провести “на глазок” значительно точнее, чем параболу или любую другую кривую.

График строится на миллиметровой бумаге (масштабной сетке). Масштаб выбирается так, чтобы можно было отложить и малые значения. При этом необязательно начало координат должно совпадать с нулевым значением величины. Масштаб по осям чаще всего разный, т.к. откладываются разные величины. Чтобы определить масштаб, обычно берут разность между округленными значениями максимальной и

7

1. Что называется измерением? Что такое мера, измерительный прибор?

2.Какие измерения являются прямыми, а какие – косвенными?

3.Что называется абсолютной и относительной погрешностью? Чем вызвано появление погрешностей измерения?

4.Как найти случайную погрешность при статистической обработке результатов измерений? Формула Стьюдента.

5.Как найти случайную погрешность при обработке результатов измерений методом “средних”?

6.Что такое систематическая погрешность?

7.Что такое приборная погрешность? Как она учитывается?

8.Как находится погрешность однократного измерения?

9.Как записать полную погрешность при обработке результатов измерений статистическим методом и методом “средних”?

10.Как получить формулу для определения относительной и абсолютной погрешности при косвенных измерениях?

11.Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность?

12.Сформулировать правило округления абсолютной погрешности в окончательном результате. Как округляется результат измерения?

13.Как записать окончательный результат?

14.Сформулировать правила построения графиков.

8